Номер 2.118, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.118. Выберите уравнения, которые имеют корни, и с помощью теоремы Виета найдите сумму и произведение корней уравнения:

а) $x^2 - 5x + 1 = 0;$

б) $x^2 + 8x - 3 = 0;$

в) $x^2 - 9x - \sqrt{2} = 0;$

г) $x^2 + 2x + 10 = 0;$

д) $x^2 + 6x + 7 = 0;$

е) $2x^2 + 7x - 13 = 0;$

ж) $x^2 - 8x = 0;$

з) $-4x^2 + 17 = 0.$

Для того чтобы выбрать уравнения, имеющие корни, необходимо проверить знак дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$) для каждого квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$. Если $D \ge 0$, то уравнение имеет действительные корни. Для таких уравнений сумму и произведение корней можно найти с помощью теоремы Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a$

Проанализируем каждое уравнение:

• а) $x^2 - 5x + 1 = 0$

  Коэффициенты: $a=1, b=-5, c=1$.
  Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$.
  Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
  Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-5)/1 = 5$.
  Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 1/1 = 1$.
  Ответ: сумма корней $5$, произведение корней $1$.

• б) $x^2 + 8x - 3 = 0$

  Коэффициенты: $a=1, b=8, c=-3$.
  Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 64 + 12 = 76$.
  Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
  Сумма корней: $x_1 + x_2 = -8/1 = -8$.
  Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -3/1 = -3$.
  Ответ: сумма корней $-8$, произведение корней $-3$.

• в) $x^2 - 9x - \sqrt{2} = 0$

  Коэффициенты: $a=1, b=-9, c=-\sqrt{2}$.
  Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\sqrt{2}) = 81 + 4\sqrt{2}$.
  Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
  Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-9)/1 = 9$.
  Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -\sqrt{2}/1 = -\sqrt{2}$.
  Ответ: сумма корней $9$, произведение корней $-\sqrt{2}$.

• г) $x^2 + 2x + 10 = 0$

  Коэффициенты: $a=1, b=2, c=10$.
  Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36$.
  Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
  Ответ: уравнение не имеет действительных корней.

• д) $x^2 + 6x + 7 = 0$

  Коэффициенты: $a=1, b=6, c=7$.
  Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.
  Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
  Сумма корней: $x_1 + x_2 = -6/1 = -6$.
  Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 7/1 = 7$.
  Ответ: сумма корней $-6$, произведение корней $7$.

• е) $2x^2 + 7x - 13 = 0$

  Коэффициенты: $a=2, b=7, c=-13$.
  Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-13) = 49 + 104 = 153$.
  Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
  Сумма корней: $x_1 + x_2 = -7/2 = -3\frac{1}{2}$.
  Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -13/2 = -6\frac{1}{2}$.
  Ответ: сумма корней $-3\frac{1}{2}$, произведение корней $-6\frac{1}{2}$.

• ж) $x^2 - 8x = 0$

  Коэффициенты: $a=1, b=-8, c=0$.
  Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 64$.
  Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
  Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-8)/1 = 8$.
  Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 0/1 = 0$.
  Ответ: сумма корней $8$, произведение корней $0$.

• з) $-4x^2 + 17 = 0$

  Коэффициенты: $a=-4, b=0, c=17$.
  Дискриминант $D = 0^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 17 = 272$.
  Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
  Сумма корней: $x_1 + x_2 = -0/(-4) = 0$.
  Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 17/(-4) = -4\frac{1}{4}$.
  Ответ: сумма корней $0$, произведение корней $-4\frac{1}{4}$.