Номер 2.112, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.112. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 2x - q = 0$ удовлетворяют равенству $3x_1 - 5x_2 = 22$. Найдите корни уравнения и число $q$.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 2x - q = 0$ и условие, связывающее его корни $x_1$ и $x_2$: $3x_1 - 5x_2 = 22$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + k = 0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = k$.

В нашем случае коэффициенты равны $p = -2$ и $k = -q$. Следовательно, по теореме Виета:

• $x_1 + x_2 = -(-2) = 2$
• $x_1 \cdot x_2 = -q$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x_1$ и $x_2$:

$$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ 3x_1 - 5x_2 = 22 \end{cases} $$

Решим эту систему. Выразим $x_1$ из первого уравнения:

$x_1 = 2 - x_2$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$3(2 - x_2) - 5x_2 = 22$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x_2$:

$6 - 3x_2 - 5x_2 = 22$

$6 - 8x_2 = 22$

$-8x_2 = 22 - 6$

$-8x_2 = 16$

$x_2 = 16 / (-8)$

$x_2 = -2$

Теперь найдем $x_1$, подставив значение $x_2$ в выражение $x_1 = 2 - x_2$:

$x_1 = 2 - (-2)$

$x_1 = 2 + 2$

$x_1 = 4$

Таким образом, мы нашли корни уравнения.

Теперь найдем число $q$. Мы знаем, что произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -q$. Подставим найденные значения корней:

$4 \cdot (-2) = -q$

$-8 = -q$

$q = 8$

Проверим, подходят ли найденные значения. Уравнение имеет вид $x^2 - 2x - 8 = 0$. Его корни: $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-8)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$. Корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$. Проверим условие: $3x_1 - 5x_2 = 3(4) - 5(-2) = 12 + 10 = 22$. Условие выполняется.

Корни уравнения: Ответ: $x_1=4$, $x_2=-2$.

Число q: Ответ: $8$.