Номер 2.116, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.116. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $2x^2 - (\sqrt{6} + 11)x - \sqrt{7-2\sqrt{6}} = 0$. Найдите значение выражения $x_1 + x_1x_2 + x_2$.

Для решения данной задачи мы воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$. Согласно этой теореме, сумма корней уравнения ($x_1 + x_2$) равна $-\frac{b}{a}$, а произведение корней ($x_1x_2$) равно $\frac{c}{a}$.

Данное нам уравнение: $2x^2 - (\sqrt{6} + 11)x - \sqrt{7 - 2\sqrt{6}} = 0$.

Определим коэффициенты этого уравнения:

• $a = 2$
• $b = -(\sqrt{6} + 11)$
• $c = -\sqrt{7 - 2\sqrt{6}}$

Перед применением теоремы Виета упростим коэффициент $c$. Для этого преобразуем выражение под корнем $7 - 2\sqrt{6}$, используя формулу для квадрата разности: $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$. Мы ищем способ представить $7 - 2\sqrt{6}$ в виде полного квадрата.

Можно заметить, что $7 = 6 + 1$ и $6 = 6 \cdot 1$. Тогда:

$7 - 2\sqrt{6} = 6 - 2\sqrt{6} + 1 = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{6} - 1)^2$

Теперь мы можем упростить коэффициент $c$:

$c = -\sqrt{(\sqrt{6} - 1)^2} = -|\sqrt{6} - 1|$

Так как $\sqrt{6} \approx 2.45$, то $\sqrt{6} > 1$, следовательно, выражение $\sqrt{6} - 1$ положительное, и модуль можно опустить:

$c = -(\sqrt{6} - 1) = 1 - \sqrt{6}$

Теперь, когда все коэффициенты определены и упрощены, применим теорему Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-(\sqrt{6} + 11)}{2} = \frac{\sqrt{6} + 11}{2}$

Произведение корней: $x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1 - \sqrt{6}}{2}$

Нам необходимо найти значение выражения $x_1 + x_1x_2 + x_2$. Для удобства сгруппируем слагаемые: $(x_1 + x_2) + x_1x_2$.

Подставим найденные значения суммы и произведения корней в это выражение:

$(x_1 + x_2) + x_1x_2 = \left(\frac{\sqrt{6} + 11}{2}\right) + \left(\frac{1 - \sqrt{6}}{2}\right)$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{(\sqrt{6} + 11) + (1 - \sqrt{6})}{2} = \frac{\sqrt{6} + 11 + 1 - \sqrt{6}}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Найдите значение выражения $x_1 + x_1x_2 + x_2$. Ответ: 6.