Номер 2.115, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.115. Составьте квадратное уравнение, зная, что произведение его корней равно 8, а сумма квадратов его корней равна 20.

Обозначим корни искомого квадратного уравнения как $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 8$
• Сумма квадратов корней: $x_1^2 + x_2^2 = 20$

Для составления приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ воспользуемся теоремой Виета, которая устанавливает связь между корнями и коэффициентами уравнения:

• $x_1 + x_2 = -p$ (сумма корней)
• $x_1 \cdot x_2 = q$ (произведение корней)

Из условия $x_1 \cdot x_2 = 8$ мы сразу можем определить коэффициент $q$:

$q = 8$

Далее, чтобы найти коэффициент $p$, нам необходимо вычислить сумму корней $x_1 + x_2$. Мы можем сделать это, используя известное алгебраическое тождество, которое связывает сумму квадратов корней с квадратом их суммы:

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2) + 2(x_1x_2)$

Теперь подставим известные нам значения в это тождество:

$(x_1 + x_2)^2 = 20 + 2 \cdot 8$

$(x_1 + x_2)^2 = 20 + 16$

$(x_1 + x_2)^2 = 36$

Из этого уравнения следует, что сумма корней $x_1 + x_2$ может иметь два возможных значения:

$x_1 + x_2 = \sqrt{36} = 6$

или

$x_1 + x_2 = -\sqrt{36} = -6$

Это означает, что существует два возможных значения для коэффициента $p = -(x_1 + x_2)$ и, соответственно, два квадратных уравнения, удовлетворяющих условию задачи.

Случай 1: Если сумма корней $x_1 + x_2 = 6$.

Тогда коэффициент $p = -6$. Подставляя $p$ и $q$ в общую формулу, получаем первое уравнение:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Случай 2: Если сумма корней $x_1 + x_2 = -6$.

Тогда коэффициент $p = -(-6) = 6$. Подставляя $p$ и $q$, получаем второе уравнение:

$x^2 + 6x + 8 = 0$

Ответ: Условию задачи удовлетворяют два уравнения: $x^2 - 6x + 8 = 0$ и $x^2 + 6x + 8 = 0$.