Номер 2.117, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.117. Восьмиклассник, решая уравнение:

а) $x^2 + 6x - 7 = 0$ получил корни 1 и -7;

б) $x^2 - 2x - 15 = 0$ получил корни 3 и -5;

в) $x^2 + x - 42 = 0$ получил корни 6 и -7.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, проверьте правильность полученных результатов.

Для проверки правильности полученных результатов воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Согласно этой теореме, для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, если числа $x_1$ и $x_2$ являются его корнями, то должны выполняться два условия:

1. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.
2. Произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Проверим каждую пару корней.

а) Уравнение $x^2 + 6x - 7 = 0$ и корни $1$ и $-7$.
Здесь коэффициенты $p = 6$ и $q = -7$.
Проверяем сумму корней: $1 + (-7) = -6$.
Сравниваем с $-p$: $-p = -6$. Равенство $-6 = -6$ верно.
Проверяем произведение корней: $1 \cdot (-7) = -7$.
Сравниваем с $q$: $q = -7$. Равенство $-7 = -7$ верно.
Оба условия выполняются, значит, корни найдены правильно.
Ответ: корни найдены верно.

б) Уравнение $x^2 - 2x - 15 = 0$ и корни $3$ и $-5$.
Здесь коэффициенты $p = -2$ и $q = -15$.
Проверяем сумму корней: $3 + (-5) = -2$.
Сравниваем с $-p$: $-p = -(-2) = 2$. Равенство $-2 = 2$ неверно.
Поскольку первое условие не выполняется, можно дальше не проверять. Предложенные числа не являются корнями уравнения.
(Для полноты, произведение корней: $3 \cdot (-5) = -15$, что совпадает с $q$, но это не отменяет ошибки в сумме).
Ответ: корни найдены неверно.

в) Уравнение $x^2 + x - 42 = 0$ и корни $6$ и $-7$.
Здесь коэффициенты $p = 1$ и $q = -42$.
Проверяем сумму корней: $6 + (-7) = -1$.
Сравниваем с $-p$: $-p = -1$. Равенство $-1 = -1$ верно.
Проверяем произведение корней: $6 \cdot (-7) = -42$.
Сравниваем с $q$: $q = -42$. Равенство $-42 = -42$ верно.
Оба условия выполняются, значит, корни найдены правильно.
Ответ: корни найдены верно.