Номер 2.121, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.121. Решите уравнение, не используя формулы корней квадратного уравнения:

а) $x^2 - 5x + 4 = 0;$

б) $x^2 + 8x + 7 = 0;$

в) $x^2 - 8x + 15 = 0;$

г) $x^2 - 2x - 3 = 0;$

д) $x^2 - 11x + 18 = 0;$

е) $x^2 + 14x + 13 = 0;$

ж) $x^2 - 4x - 21 = 0;$

з) $x^2 - x - 56 = 0.$

Для решения данных уравнений, не используя формулу корней, мы применим теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1$ и $x_2$ равна коэффициенту $p$ с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену $q$.

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases}$

а) $x^2 - 5x + 4 = 0$

В этом уравнении $p = -5$ и $q = 4$. Найдем корни, используя теорему Виета:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -(-5) = 5 \\ x_1 \cdot x_2 = 4 \end{cases}$

Подбираем два числа, произведение которых равно 4, а сумма равна 5. Легко видеть, что это числа 1 и 4, так как $1 \cdot 4 = 4$ и $1 + 4 = 5$.
Ответ: $1; 4$.

б) $x^2 + 8x + 7 = 0$

Здесь $p = 8$ и $q = 7$. Система для корней $x_1$ и $x_2$ будет следующей:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -8 \\ x_1 \cdot x_2 = 7 \end{cases}$

Так как произведение корней положительно, а сумма отрицательна, оба корня отрицательны. Подбором находим, что это числа -1 и -7. Проверяем: $(-1) \cdot (-7) = 7$ и $(-1) + (-7) = -8$.
Ответ: $-1; -7$.

в) $x^2 - 8x + 15 = 0$

В данном случае $p = -8$ и $q = 15$. Система для корней:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -(-8) = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 15 \end{cases}$

Произведение и сумма корней положительны, значит, оба корня положительны. Ищем два положительных числа, которые в произведении дают 15, а в сумме 8. Это числа 3 и 5, так как $3 \cdot 5 = 15$ и $3 + 5 = 8$.
Ответ: $3; 5$.

г) $x^2 - 2x - 3 = 0$

Здесь $p = -2$ и $q = -3$. Система для корней:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -(-2) = 2 \\ x_1 \cdot x_2 = -3 \end{cases}$

Произведение корней отрицательно, значит, они имеют разные знаки. Ищем два числа с разными знаками, которые в произведении дают -3, а в сумме 2. Это числа 3 и -1, так как $3 \cdot (-1) = -3$ и $3 + (-1) = 2$.
Ответ: $-1; 3$.

д) $x^2 - 11x + 18 = 0$

Здесь $p = -11$ и $q = 18$. Система для корней:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -(-11) = 11 \\ x_1 \cdot x_2 = 18 \end{cases}$

Оба корня положительны. Ищем два числа, дающих в произведении 18, а в сумме 11. Это числа 2 и 9, так как $2 \cdot 9 = 18$ и $2 + 9 = 11$.
Ответ: $2; 9$.

е) $x^2 + 14x + 13 = 0$

Здесь $p = 14$ и $q = 13$. Система для корней:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -14 \\ x_1 \cdot x_2 = 13 \end{cases}$

Оба корня отрицательны. Так как 13 - простое число, его целыми множителями могут быть только -1 и -13. Проверяем их сумму: $(-1) + (-13) = -14$. Эти числа и являются корнями.
Ответ: $-1; -13$.

ж) $x^2 - 4x - 21 = 0$

Здесь $p = -4$ и $q = -21$. Система для корней:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -(-4) = 4 \\ x_1 \cdot x_2 = -21 \end{cases}$

Корни имеют разные знаки. Ищем два числа, произведение которых -21, а сумма 4. Это числа 7 и -3, так как $7 \cdot (-3) = -21$ и $7 + (-3) = 4$.
Ответ: $-3; 7$.

з) $x^2 - x - 56 = 0$

Здесь $p = -1$ и $q = -56$. Система для корней:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -(-1) = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -56 \end{cases}$

Корни имеют разные знаки, а их сумма равна 1. Это значит, что положительный корень по модулю на 1 больше, чем отрицательный. Разложим 56 на множители, отличающиеся на 1: $56 = 7 \cdot 8$. Корнями будут числа 8 и -7, так как $8 \cdot (-7) = -56$ и $8 + (-7) = 1$.
Ответ: $-7; 8$.