Номер 2.114, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.114. Уравнение $x^2 - 10x - 1 = 0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа $x_1^2$ и $x_2^2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для исходного уравнения $x^2 - 10x - 1 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-10) = 10$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -1$

Нам необходимо составить новое приведенное квадратное уравнение, корнями которого будут $y_1 = x_1^2$ и $y_2 = x_2^2$. Такое уравнение имеет вид $y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1 \cdot y_2 = 0$.

Найдем сумму и произведение новых корней, выразив их через сумму и произведение исходных корней.

Сумма новых корней:

$y_1 + y_2 = x_1^2 + x_2^2$. Используем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда следует, что $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим известные значения:

$y_1 + y_2 = (10)^2 - 2 \cdot (-1) = 100 + 2 = 102$.

Произведение новых корней:

$y_1 \cdot y_2 = x_1^2 \cdot x_2^2 = (x_1 \cdot x_2)^2$.

Подставим известное значение:

$y_1 \cdot y_2 = (-1)^2 = 1$.

Теперь подставим найденные сумму ($102$) и произведение ($1$) в общую формулу для нового уравнения:

$y^2 - 102y + 1 = 0$.

Заменяя переменную $y$ на $x$, получаем искомое уравнение.

Искомое квадратное уравнение Ответ: $x^2 - 102x + 1 = 0$.