Номер 2.120, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.120. Составьте квадратное уравнение, корни которого

равны:

а) 5 и 8;

б) -2 и 0,5;

в) -3 и $- \frac{1}{3}$.

Для составления квадратного уравнения по его корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема, обратная теореме Виета. Согласно этой теореме, приведенное квадратное уравнение (т.е. уравнение, где коэффициент при $x^2$ равен 1) имеет вид:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$

Здесь $(x_1 + x_2)$ — это сумма корней, а $(x_1 \cdot x_2)$ — их произведение. Чтобы составить уравнение, нужно вычислить эти два значения и подставить их в формулу.

а) 5 и 8;

Даны корни $x_1 = 5$ и $x_2 = 8$.

1. Найдем сумму корней:
   $S = x_1 + x_2 = 5 + 8 = 13$
2. Найдем произведение корней:
   $P = x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot 8 = 40$
3. Подставим найденные значения $S=13$ и $P=40$ в формулу $x^2 - Sx + P = 0$:
   $x^2 - 13x + 40 = 0$

Коэффициенты уравнения являются целыми числами.
Ответ: $x^2 - 13x + 40 = 0$

б) -2 и 0,5;

Даны корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 0,5$.

1. Найдем сумму корней:
   $S = x_1 + x_2 = -2 + 0,5 = -1,5 = -\frac{3}{2}$
2. Найдем произведение корней:
   $P = x_1 \cdot x_2 = -2 \cdot 0,5 = -1$
3. Подставим найденные значения $S=-1,5$ и $P=-1$ в формулу $x^2 - Sx + P = 0$:
   $x^2 - (-1,5)x + (-1) = 0$
   $x^2 + 1,5x - 1 = 0$

Коэффициент при $x$ является десятичной дробью. Запишем его в виде смешанного числа: $1,5 = 1\frac{1}{2}$. Неправильная дробь $\frac{3}{2}$ имеет целую часть 1.
Ответ: $x^2 + \boldsymbol{1}\frac{1}{2}x - 1 = 0$

Примечание: Это уравнение можно привести к виду с целыми коэффициентами, умножив все его члены на 2:

$2(x^2 + \frac{3}{2}x - 1) = 2 \cdot 0$
$2x^2 + 3x - 2 = 0$

в) -3 и $-\frac{1}{3}$;

Даны корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$.

1. Найдем сумму корней:
   $S = x_1 + x_2 = -3 + (-\frac{1}{3}) = -3\frac{1}{3} = -\frac{10}{3}$
2. Найдем произведение корней:
   $P = x_1 \cdot x_2 = (-3) \cdot (-\frac{1}{3}) = 1$
3. Подставим найденные значения $S=-\frac{10}{3}$ и $P=1$ в формулу $x^2 - Sx + P = 0$:
   $x^2 - (-\frac{10}{3})x + 1 = 0$
   $x^2 + \frac{10}{3}x + 1 = 0$

Коэффициент при $x$ является неправильной дробью. Представим его в виде смешанного числа: $\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$. Целая часть равна 3.
Ответ: $x^2 + \boldsymbol{3}\frac{1}{3}x + 1 = 0$

Примечание: Это уравнение можно привести к виду с целыми коэффициентами, умножив все его члены на 3:

$3(x^2 + \frac{10}{3}x + 1) = 3 \cdot 0$
$3x^2 + 10x + 3 = 0$