Номер 2.113, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.113. Найдите корни уравнения $x^2 - 12x - q = 0$ и число $q$,

если известно, что:

а) один из корней в 5 раз больше другого;

б) один из корней в 3 раза меньше другого;

в) один из корней составляет 20 % другого.

Для решения данного квадратного уравнения $x^2 - 12x - q = 0$ воспользуемся теоремой Виета. Согласно теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + k = 0$ выполняются следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = k$

В нашем уравнении $x^2 - 12x - q = 0$ коэффициенты равны $p = -12$ и $k = -q$. Таким образом, мы получаем систему уравнений для корней $x_1$ и $x_2$:

1. $x_1 + x_2 = -(-12) = 12$
2. $x_1 \cdot x_2 = -q$

Теперь решим задачу для каждого из условий, используя эту систему.

а) один из корней в 5 раз больше другого;

Пусть $x_1$ - один корень, тогда второй корень $x_2 = 5x_1$. Подставим это соотношение в первое уравнение системы:

$x_1 + 5x_1 = 12$

$6x_1 = 12$

$x_1 = \frac{12}{6} = 2$

Теперь найдем второй корень:

$x_2 = 5 \cdot x_1 = 5 \cdot 2 = 10$

Корни уравнения равны 2 и 10. Теперь найдем число $q$, используя второе уравнение системы:

$x_1 \cdot x_2 = -q$

$2 \cdot 10 = -q$

$20 = -q$

$q = -20$

Ответ: корни уравнения 2 и 10, число $q = -20$.

б) один из корней в 3 раза меньше другого;

Это условие означает, что один корень в 3 раза больше другого. Пусть $x_1$ - меньший корень, тогда больший корень $x_2 = 3x_1$. Подставим это соотношение в уравнение для суммы корней:

$x_1 + 3x_1 = 12$

$4x_1 = 12$

$x_1 = \frac{12}{4} = 3$

Найдем второй корень:

$x_2 = 3 \cdot x_1 = 3 \cdot 3 = 9$

Корни уравнения равны 3 и 9. Теперь найдем число $q$:

$x_1 \cdot x_2 = -q$

$3 \cdot 9 = -q$

$27 = -q$

$q = -27$

Ответ: корни уравнения 3 и 9, число $q = -27$.

в) один из корней составляет 20 % другого.

Переведем проценты в дробь: $20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$. Пусть $x_1$ - один корень, тогда второй корень $x_2 = \frac{1}{5}x_1$. Подставим в уравнение для суммы корней:

$x_1 + \frac{1}{5}x_1 = 12$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{5}{5}x_1 + \frac{1}{5}x_1 = 12$

$\frac{6}{5}x_1 = 12$

Теперь найдем $x_1$:

$x_1 = 12 \cdot \frac{5}{6} = 2 \cdot 5 = 10$

Найдем второй корень:

$x_2 = \frac{1}{5} \cdot x_1 = \frac{1}{5} \cdot 10 = 2$

Корни уравнения равны 10 и 2. Теперь найдем число $q$:

$x_1 \cdot x_2 = -q$

$10 \cdot 2 = -q$

$20 = -q$

$q = -20$

Ответ: корни уравнения 10 и 2, число $q = -20$.