Номер 2.105, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.105. Составьте квадратное уравнение, каждый корень которого:

а) в 3 раза меньше соответствующего корня уравнения $x^2 - 39x + 18 = 0$;

б) в 6 раз больше соответствующего корня уравнения $3x^2 - 8x + 1 = 0$.

Для решения этой задачи мы будем использовать теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. Для общего вида $ax^2 + bx + c = 0$, сумма корней $x_1 + x_2 = -b/a$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

Новое квадратное уравнение с корнями $y_1$ и $y_2$ можно составить по формуле: $y^2 - (y_1 + y_2)y + (y_1 \cdot y_2) = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни исходного уравнения $x^2 - 39x + 18 = 0$.
По теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-39) = 39$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 18$

Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни нового уравнения. По условию, они в 3 раза меньше корней исходного уравнения:

• $y_1 = \frac{x_1}{3}$
• $y_2 = \frac{x_2}{3}$

Найдем сумму и произведение новых корней:

• Сумма новых корней: $y_1 + y_2 = \frac{x_1}{3} + \frac{x_2}{3} = \frac{x_1 + x_2}{3} = \frac{39}{3} = 13$
• Произведение новых корней: $y_1 \cdot y_2 = \frac{x_1}{3} \cdot \frac{x_2}{3} = \frac{x_1 \cdot x_2}{9} = \frac{18}{9} = 2$

Теперь составим новое квадратное уравнение по формуле $y^2 - (y_1 + y_2)y + (y_1 \cdot y_2) = 0$:

$y^2 - 13y + 2 = 0$

Ответ: $x^2 - 13x + 2 = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни исходного уравнения $3x^2 - 8x + 1 = 0$.
По теореме Виета для общего вида:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-8}{3} = \frac{8}{3}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{3}$

Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни нового уравнения. По условию, они в 6 раз больше корней исходного уравнения:

• $y_1 = 6x_1$
• $y_2 = 6x_2$

Найдем сумму и произведение новых корней:

• Сумма новых корней: $y_1 + y_2 = 6x_1 + 6x_2 = 6(x_1 + x_2) = 6 \cdot \frac{8}{3} = 2 \cdot 8 = 16$
• Произведение новых корней: $y_1 \cdot y_2 = (6x_1) \cdot (6x_2) = 36(x_1 \cdot x_2) = 36 \cdot \frac{1}{3} = 12$

Составим новое квадратное уравнение по формуле $y^2 - (y_1 + y_2)y + (y_1 \cdot y_2) = 0$:

$y^2 - 16y + 12 = 0$

Ответ: $x^2 - 16x + 12 = 0$.