устные вопросы и задания в § 9, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Верно ли, что если квадратное уравнение приведенное, то сумма его корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену?

2. Верно ли, что если дискриминант квадратного уравнения больше нуля, то сумма его корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену?

Да, это утверждение верно. Оно является формулировкой теоремы Виета для приведенного квадратного уравнения.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, у которого старший коэффициент (коэффициент при $x^2$) равен 1. Его общий вид: $$ x^2 + px + q = 0 $$

Если $x_1$ и $x_2$ являются корнями этого уравнения (что подразумевает, что дискриминант $D = p^2 - 4q \ge 0$), то согласно теореме Виета:

• Сумма корней равна второму коэффициенту ($p$), взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.
• Произведение корней равно свободному члену ($q$): $x_1 \cdot x_2 = q$.

Таким образом, утверждение в точности описывает свойства корней приведенного квадратного уравнения.

Ответ: Да, верно.

Нет, это утверждение в общем случае неверно. Оно справедливо только для приведенных квадратных уравнений, то есть тех, у которых старший коэффициент равен 1.

Рассмотрим общее квадратное уравнение: $$ ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0) $$

Условие, что дискриминант $D = b^2 - 4ac > 0$, гарантирует лишь то, что уравнение имеет два различных действительных корня. Однако формулы Виета для общего случая выглядят так:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Как видно из формул, для нахождения суммы и произведения корней необходимо делить на старший коэффициент $a$. Утверждение в вопросе ($x_1 + x_2 = -b$ и $x_1 \cdot x_2 = c$) было бы верным только при $a=1$.

Контрпример:
Рассмотрим уравнение $3x^2 - 9x + 6 = 0$.

• Коэффициенты: $a=3$, $b=-9$, $c=6$.
• Дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 81 - 72 = 9$. Поскольку $D > 0$, у уравнения два действительных корня.
• Найдем корни, решив уравнение. Можно разделить на 3: $x^2 - 3x + 2 = 0$. Корни $x_1=1, x_2=2$.
• Проверим утверждение для исходного уравнения:
  • Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1+2=3$. Второй коэффициент с противоположным знаком: $-b = -(-9) = 9$. Очевидно, что $3 \neq 9$.
  • Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 2 = 2$. Свободный член: $c=6$. Очевидно, что $2 \neq 6$.

Таким образом, положительный дискриминант сам по себе не делает это утверждение верным для любого квадратного уравнения.

Ответ: Нет, неверно.