Номер 2.103, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.103. Найдите значение выражения $x_1 + x_2 - 3x_1x_2$, зная, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения:

а) $x^2 + 10x - 1 = 0$;

б) $8x^2 - x - 5 = 0$;

в) $-2x^2 + 3x + 7 = 0$;

г) $x^2 - \sqrt{5}x - 6\sqrt{5} = 0$.

Для нахождения значения выражения $x_1 + x_2 - 3x_1x_2$ для каждого уравнения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение корней $x_1x_2 = \frac{c}{a}$.

а) Для уравнения $x^2 + 10x - 1 = 0$:

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=10, c=-1$.

Находим сумму и произведение корней по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -\frac{10}{1} = -10$

$x_1x_2 = \frac{-1}{1} = -1$

Теперь подставим найденные значения в заданное выражение:

$x_1 + x_2 - 3x_1x_2 = (-10) - 3(-1) = -10 + 3 = -7$.

Ответ: -7

б) Для уравнения $8x^2 - x - 5 = 0$:

Коэффициенты уравнения: $a=8, b=-1, c=-5$.

Находим сумму и произведение корней по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -\frac{-1}{8} = \frac{1}{8}$

$x_1x_2 = \frac{-5}{8}$

Подставляем найденные значения в заданное выражение:

$x_1 + x_2 - 3x_1x_2 = \frac{1}{8} - 3(-\frac{5}{8}) = \frac{1}{8} + \frac{15}{8} = \frac{16}{8} = 2$.

Ответ: 2

в) Для уравнения $-2x^2 + 3x + 7 = 0$:

Коэффициенты уравнения: $a=-2, b=3, c=7$.

Находим сумму и произведение корней по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -\frac{3}{-2} = \frac{3}{2}$

$x_1x_2 = \frac{7}{-2} = -\frac{7}{2}$

Подставляем найденные значения в заданное выражение:

$x_1 + x_2 - 3x_1x_2 = \frac{3}{2} - 3(-\frac{7}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{21}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

Ответ: 12

г) Для уравнения $x^2 - \sqrt{5}x - 6\sqrt{5} = 0$:

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=-\sqrt{5}, c=-6\sqrt{5}$.

Находим сумму и произведение корней по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -\frac{-\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5}$

$x_1x_2 = \frac{-6\sqrt{5}}{1} = -6\sqrt{5}$

Подставляем найденные значения в заданное выражение:

$x_1 + x_2 - 3x_1x_2 = \sqrt{5} - 3(-6\sqrt{5}) = \sqrt{5} + 18\sqrt{5} = 19\sqrt{5}$.

Ответ: $19\sqrt{5}$