Номер 2.104, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.104. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 7x - 12 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:

a) $(x_1 + x_2)^2$;

б) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$;

в) $x_1^2 + x_2^2$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета, которая позволяет найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не находя сами корни.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ теорема Виета утверждает, что:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем случае дано уравнение $x^2 + 7x - 12 = 0$. Здесь коэффициенты $p = 7$ и $q = -12$.

Следовательно, для корней $x_1$ и $x_2$ этого уравнения справедливы следующие соотношения:

• $x_1 + x_2 = -7$
• $x_1 \cdot x_2 = -12$

Используя эти значения, найдем значения требуемых выражений.

а) $(x_1 + x_2)^2$;
Данное выражение представляет собой квадрат суммы корней. Мы уже знаем, что $x_1 + x_2 = -7$.
Возведем это значение в квадрат:
$(x_1 + x_2)^2 = (-7)^2 = 49$.
Ответ: 49.

б) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$;
В этом выражении можно вынести за скобки общий множитель $x_1x_2$:
$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$.
Теперь подставим известные нам значения произведения ($x_1x_2 = -12$) и суммы ($x_1 + x_2 = -7$) корней:
$x_1x_2(x_1 + x_2) = (-12) \cdot (-7) = 84$.
Ответ: 84.

в) $x_1^2 + x_2^2$.
Чтобы найти сумму квадратов корней, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Применительно к корням: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.
Выразим из этой формулы искомое $x_1^2 + x_2^2$:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.
Подставим известные значения суммы и произведения корней:
$x_1^2 + x_2^2 = (-7)^2 - 2 \cdot (-12) = 49 + 24 = 73$.
Ответ: 73.