Номер 2.98, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.98. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны:

a) 1 и -12;

б) 6 и $\frac{1}{6}$;

в) -3 и -0,8.

Для составления квадратного уравнения по его корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема, обратная теореме Виета. Согласно ей, искомое приведенное квадратное уравнение ($a=1$) имеет вид:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$

где $(x_1 + x_2)$ — сумма корней, а $x_1x_2$ — произведение корней.

а) Даны корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -12$.

1. Найдем сумму корней:
$x_1 + x_2 = 1 + (-12) = -11$

2. Найдем произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot (-12) = -12$

3. Подставим полученные значения в формулу:
$x^2 - (-11)x + (-12) = 0$

Упростив, получаем итоговое уравнение.

Ответ: $x^2 + 11x - 12 = 0$.

б) Даны корни $x_1 = 6$ и $x_2 = \frac{1}{6}$.

1. Найдем сумму корней:
$x_1 + x_2 = 6 + \frac{1}{6} = \frac{36}{6} + \frac{1}{6} = \frac{37}{6}$.
Это неправильная дробь, выделим из нее целую часть: $\frac{37}{6} = \mathbf{6}\frac{1}{6}$.

2. Найдем произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = 6 \cdot \frac{1}{6} = 1$

3. Подставим значения в формулу:
$x^2 - \frac{37}{6}x + 1 = 0$

Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot (x^2 - \frac{37}{6}x + 1) = 6 \cdot 0$

Ответ: $6x^2 - 37x + 6 = 0$.

в) Даны корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -0,8$.

1. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной для удобства вычислений:
$x_2 = -0,8 = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}$

2. Найдем сумму корней:
$x_1 + x_2 = -3 + (-\frac{4}{5}) = -\frac{15}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{19}{5}$.
Выделим целую часть: $-\frac{19}{5} = -\mathbf{3}\frac{4}{5}$.

3. Найдем произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = (-3) \cdot (-\frac{4}{5}) = \frac{12}{5}$.
Выделим целую часть: $\frac{12}{5} = \mathbf{2}\frac{2}{5}$.

4. Подставим значения в формулу:
$x^2 - (-\frac{19}{5})x + \frac{12}{5} = 0$
$x^2 + \frac{19}{5}x + \frac{12}{5} = 0$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы получить целочисленные коэффициенты:

$5 \cdot (x^2 + \frac{19}{5}x + \frac{12}{5}) = 5 \cdot 0$

Ответ: $5x^2 + 19x + 12 = 0$.