Номер 2.95, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.95. С помощью теоремы Виета найдите сумму и произведение корней уравнения, если это возможно:

а) $x^2 - 9x + 2 = 0$;

б) $x^2 + 7x - 1 = 0$;

в) $x^2 + x + 3 = 0$;

г) $x^2 + 2x - \sqrt{3} = 0$;

д) $x^2 - 13x + 31 = 0$;

е) $4x^2 - 3x - 5 = 0$;

ж) $-x^2 - 10x = 0$;

з) $3x^2 - 8 = 0$.

Для решения задачи используется теорема Виета. Для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$, имеющего действительные корни $x_1$ и $x_2$, справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Теорема применима, только если уравнение имеет действительные корни, то есть его дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$.

а) Для уравнения $x^2 - 9x + 2 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$). Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 81 - 8 = 73$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. По теореме Виета: Ответ: сумма корней $x_1 + x_2 = 9$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 2$.

б) Для уравнения $x^2 + 7x - 1 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$). Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 49 + 4 = 53$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. По теореме Виета: Ответ: сумма корней $x_1 + x_2 = -7$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -1$.

в) Для уравнения $x^2 + x + 3 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$. Так как $D < 0$, действительных корней нет. Ответ: найти сумму и произведение корней невозможно.

г) Для уравнения $x^2 + 2x - \sqrt{3} = 0$. Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$). Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\sqrt{3}) = 4 + 4\sqrt{3}$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. По теореме Виета: Ответ: сумма корней $x_1 + x_2 = -2$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -\sqrt{3}$.

д) Для уравнения $x^2 - 13x + 31 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$). Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 31 = 169 - 124 = 45$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. По теореме Виета: Ответ: сумма корней $x_1 + x_2 = 13$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 31$.

е) Для уравнения $4x^2 - 3x - 5 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 9 + 80 = 89$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. По теореме Виета для полного квадратного уравнения: Ответ: сумма корней $x_1 + x_2 = - \frac{-3}{4} = \frac{3}{4}$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{-5}{4} = -\mathbf{1}\frac{1}{4}$.

ж) Для уравнения $-x^2 - 10x = 0$. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 0 = 100$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. По теореме Виета: Ответ: сумма корней $x_1 + x_2 = - \frac{-10}{-1} = -10$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{0}{-1} = 0$.

з) Для уравнения $3x^2 - 8 = 0$. Коэффициент $b=0$. Дискриминант $D = 0^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 96$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. По теореме Виета: Ответ: сумма корней $x_1 + x_2 = - \frac{0}{3} = 0$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{-8}{3} = -\mathbf{2}\frac{2}{3}$.