Номер 2.94, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.94. Используя теорему, обратную теореме Виета, проверьте, являются ли корнями уравнения:

a) $x^2 - 5x + 4 = 0$ числа 1 и 4;

б) $x^2 + 6x + 8 = 0$ числа 2 и 4;

в) $x^2 - x - 12 = 0$ числа 4 и -3;

г) $x^2 + 9x - 10 = 0$ числа 1 и -10.

Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту $p$ приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену $q$, то есть выполняются условия:

• $x_1 + x_2 = -p$
• $x_1 \cdot x_2 = q$

то эти числа являются корнями данного уравнения. Проверим предложенные числа для каждого уравнения.

а) Для уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ и чисел 1 и 4.
В данном уравнении коэффициенты $p = -5$ и $q = 4$.
Проверим по теореме, обратной теореме Виета:
1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1 + 4 = 5$.
Сравним с $-p$: $-(-5) = 5$.
Так как $5=5$, первое условие выполняется.
2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 4 = 4$.
Сравним с $q$: $q = 4$.
Так как $4=4$, второе условие выполняется.
Поскольку оба условия теоремы выполняются, числа 1 и 4 являются корнями данного уравнения.
Ответ: да, являются.

б) Для уравнения $x^2 + 6x + 8 = 0$ и чисел 2 и 4.
В данном уравнении коэффициенты $p = 6$ и $q = 8$.
Проверим по теореме, обратной теореме Виета:
1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = 2 + 4 = 6$.
Сравним с $-p$: $-p = -6$.
Так как $6 \neq -6$, первое условие не выполняется.
Поскольку одно из условий теоремы не выполняется, числа 2 и 4 не являются корнями данного уравнения.
Ответ: нет, не являются.

в) Для уравнения $x^2 - x - 12 = 0$ и чисел 4 и -3.
В данном уравнении коэффициенты $p = -1$ и $q = -12$.
Проверим по теореме, обратной теореме Виета:
1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = 4 + (-3) = 1$.
Сравним с $-p$: $-(-1) = 1$.
Так как $1=1$, первое условие выполняется.
2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot (-3) = -12$.
Сравним с $q$: $q = -12$.
Так как $-12 = -12$, второе условие выполняется.
Поскольку оба условия теоремы выполняются, числа 4 и -3 являются корнями данного уравнения.
Ответ: да, являются.

г) Для уравнения $x^2 + 9x - 10 = 0$ и чисел 1 и -10.
В данном уравнении коэффициенты $p = 9$ и $q = -10$.
Проверим по теореме, обратной теореме Виета:
1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1 + (-10) = -9$.
Сравним с $-p$: $-p = -9$.
Так как $-9 = -9$, первое условие выполняется.
2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot (-10) = -10$.
Сравним с $q$: $q = -10$.
Так как $-10 = -10$, второе условие выполняется.
Поскольку оба условия теоремы выполняются, числа 1 и -10 являются корнями данного уравнения.
Ответ: да, являются.