Номер 2.102, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.102. Приведите пример квадратного уравнения, один из корней которого:

а) в 3 раза больше другого;

б) на 7 меньше другого.

Для того чтобы составить квадратное уравнение по заданным условиям на его корни, удобно воспользоваться теоремой Виета. Согласно теореме, для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни, выполняются следующие соотношения:

• $x_1 + x_2 = -p$
• $x_1 \cdot x_2 = q$

Таким образом, мы можем выбрать произвольные числа, удовлетворяющие условию задачи, в качестве корней, а затем, используя эти формулы, найти коэффициенты и составить само уравнение.

а) По условию, один корень в 3 раза больше другого. Обозначим корни как $x_1$ и $x_2$. Пусть $x_2 = 3x_1$.
Выберем простое значение для первого корня, например, $x_1 = 1$.
Тогда второй корень будет $x_2 = 3 \cdot 1 = 3$.
Теперь найдем коэффициенты $p$ и $q$ для уравнения $x^2 + px + q = 0$:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1 + 3 = 4$. Следовательно, $-p = 4$, откуда $p = -4$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 3 = 3$. Следовательно, $q = 3$.

Подставляем найденные значения $p$ и $q$ в шаблон уравнения:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Это уравнение имеет корни 1 и 3, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $x^2 - 4x + 3 = 0$

б) По условию, один корень на 7 меньше другого. Обозначим корни как $x_1$ и $x_2$. Пусть $x_1 = x_2 - 7$.
Выберем простое значение для второго корня, например, $x_2 = 8$.
Тогда первый корень будет $x_1 = 8 - 7 = 1$.
Теперь найдем коэффициенты $p$ и $q$ для уравнения $x^2 + px + q = 0$:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1 + 8 = 9$. Следовательно, $-p = 9$, откуда $p = -9$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 8 = 8$. Следовательно, $q = 8$.

Подставляем найденные значения $p$ и $q$ в шаблон уравнения:

$x^2 - 9x + 8 = 0$

Это уравнение имеет корни 1 и 8, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $x^2 - 9x + 8 = 0$