Номер 2.130, страница 125 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.130. Вычислите:

a) $ (5^{-6} \cdot 5^{-4})^2 : 5^{-22}; $

б) $ \left(\frac{7}{9}\right)^0 \cdot 0,5^{-1}; $

В) $ \frac{2^{-7} \cdot 16^4}{32^2}. $

а) $(5^{-6} \cdot 5^{-4})^2 : 5^{-22}$

Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней:

• При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
• При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
• При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Решение по шагам:

1. Сначала выполним действие в скобках (умножение степеней):
$5^{-6} \cdot 5^{-4} = 5^{-6+(-4)} = 5^{-10}$.

2. Теперь возведем полученный результат в квадрат (возведение степени в степень):
$(5^{-10})^2 = 5^{-10 \cdot 2} = 5^{-20}$.

3. Наконец, выполним деление степеней:
$5^{-20} : 5^{-22} = 5^{-20 - (-22)} = 5^{-20+22} = 5^2$.

4. Вычислим конечный результат:
$5^2 = 25$.

Ответ: 25

б) $(\frac{7}{9})^0 \cdot 0,5^{-1}$

Для решения этого примера используем следующие правила:

• Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице: $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$).
• Число в отрицательной степени равно обратному числу в положительной степени: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. В частности, $a^{-1} = \frac{1}{a}$.

Решение по шагам:

1. Вычислим первый множитель:
$(\frac{7}{9})^0 = 1$.

2. Вычислим второй множитель. Сначала представим десятичную дробь $0,5$ в виде обыкновенной дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$.
Теперь применим правило для отрицательной степени:
$0,5^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

3. Перемножим полученные результаты:
$1 \cdot 2 = 2$.

Ответ: 2

в) $\frac{2^{-7} \cdot 16^4}{32^2}$

Для решения этого примера удобно привести все числа к степеням с одним основанием, в данном случае к основанию 2.

• $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$
• $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{2^{-7} \cdot (2^4)^4}{(2^5)^2}$

Теперь воспользуемся свойствами степеней для упрощения выражения:

1. Упростим числитель. Сначала возведем степень в степень: $(2^4)^4 = 2^{4 \cdot 4} = 2^{16}$.
Затем перемножим степени с одинаковым основанием: $2^{-7} \cdot 2^{16} = 2^{-7+16} = 2^9$.

2. Упростим знаменатель: $(2^5)^2 = 2^{5 \cdot 2} = 2^{10}$.

3. В итоге выражение принимает вид: $\frac{2^9}{2^{10}}$.
Выполним деление, вычитая показатели: $2^{9-10} = 2^{-1}$.

4. Вычислим конечный результат:
$2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$