Номер 2.136, страница 125 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.136. Докажите, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел является нечетным числом.

Для доказательства этого утверждения необходимо взять два произвольных последовательных натуральных числа. Обозначим меньшее из этих чисел как $n$, тогда следующее за ним натуральное число будет $n+1$. По условию, $n$ является натуральным числом, то есть $n \in \mathbb{N}$.

Далее рассмотрим разность их квадратов. Так как $n+1 > n$, то и $(n+1)^2 > n^2$. Вычтем из квадрата большего числа квадрат меньшего:

$(n+1)^2 - n^2$

Чтобы упростить это выражение, воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = n+1$ и $b = n$. Применим формулу:

$(n+1)^2 - n^2 = ((n+1) - n)((n+1) + n)$

Теперь вычислим значение в каждой из скобок:

• Первая скобка: $(n+1) - n = 1$
• Вторая скобка: $(n+1) + n = 2n + 1$

Подставив результаты обратно, мы получаем:

$1 \cdot (2n+1) = 2n+1$

Полученное выражение $2n+1$ является общей формулой для нечетного числа, где $n$ — натуральное число. Произведение $2n$ всегда является четным числом, так как оно кратно двум. Если к любому четному числу прибавить единицу, результат всегда будет нечетным.

Таким образом, мы доказали, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел всегда является нечетным числом.

Ответ: Утверждение доказано. Разность квадратов двух последовательных натуральных чисел ($n$ и $n+1$) равна $(n+1)^2 - n^2 = 2n+1$, что по определению является нечетным числом для любого натурального $n$.