Номер 2.139, страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.139. Определите степень многочлена и разложите его на множители:

а) $-36t^2 + 36t - 9;$

б) $0.01x^2 - x + 25;$

в) $0.04p^2 - 4p + 100;$

г) $x^4 - 2x^2 + 1.$

а) $-36t^2 + 36t - 9$
1. Определение степени многочлена:
Степенью многочлена называется наибольшая из степеней его членов. В многочлене $-36t^2 + 36t - 9$ наибольшая степень переменной $t$ равна 2. Следовательно, это многочлен второй степени.
2. Разложение на множители:
Вынесем общий множитель $-9$ за скобки:
$-36t^2 + 36t - 9 = -9(4t^2 - 4t + 1)$
Выражение в скобках $4t^2 - 4t + 1$ представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a^2 = 4t^2 = (2t)^2$, значит $a=2t$.
$b^2 = 1 = 1^2$, значит $b=1$.
Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 2t \cdot 1 = 4t$.
Таким образом, $4t^2 - 4t + 1 = (2t - 1)^2$.
Подставляя обратно, получаем: $-9(2t - 1)^2$.
Ответ: Степень многочлена – 2; разложение на множители: $-9(2t-1)^2$.

б) $0,01x^2 - x + 25$
1. Определение степени многочлена:
Наибольшая степень переменной $x$ в многочлене $0,01x^2 - x + 25$ равна 2. Следовательно, это многочлен второй степени.
2. Разложение на множители:
Данный многочлен похож на полный квадрат разности. Воспользуемся формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$:
$a^2 = 0,01x^2 = (0,1x)^2$, значит $a=0,1x$.
$b^2 = 25 = 5^2$, значит $b=5$.
Проверим средний член (удвоенное произведение): $-2ab = -2 \cdot 0,1x \cdot 5 = -1x = -x$.
Поскольку все члены совпадают с формулой, многочлен можно свернуть в квадрат разности:
$0,01x^2 - x + 25 = (0,1x - 5)^2$.
Ответ: Степень многочлена – 2; разложение на множители: $(0,1x - 5)^2$.

в) $0,04p^2 - 4p + 100$
1. Определение степени многочлена:
Наибольшая степень переменной $p$ в многочлене $0,04p^2 - 4p + 100$ равна 2. Следовательно, это многочлен второй степени.
2. Разложение на множители:
Это выражение является полным квадратом разности, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$:
$a^2 = 0,04p^2 = (0,2p)^2$, значит $a=0,2p$.
$b^2 = 100 = 10^2$, значит $b=10$.
Проверим средний член: $-2ab = -2 \cdot 0,2p \cdot 10 = -4p$.
Все члены соответствуют формуле, следовательно:
$0,04p^2 - 4p + 100 = (0,2p - 10)^2$.
Ответ: Степень многочлена – 2; разложение на множители: $(0,2p - 10)^2$.

г) $x^4 - 2x^2 + 1$
1. Определение степени многочлена:
Наибольшая степень переменной $x$ в многочлене $x^4 - 2x^2 + 1$ равна 4. Следовательно, это многочлен четвертой степени.
2. Разложение на множители:
Этот многочлен является биквадратным уравнением и может быть представлен как полный квадрат. Воспользуемся формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Пусть $a = x^2$ и $b = 1$.
Тогда $a^2 = (x^2)^2 = x^4$ и $b^2 = 1^2 = 1$.
Удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot x^2 \cdot 1 = 2x^2$.
Таким образом, $x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2$.
Выражение в скобках, $x^2 - 1$, является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.
Подставим это в наше выражение:
$(x^2 - 1)^2 = ((x-1)(x+1))^2 = (x-1)^2(x+1)^2$.
Ответ: Степень многочлена – 4; разложение на множители: $(x-1)^2(x+1)^2$.