Номер 2.145, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.145. Представьте в виде произведения:

а) $9x + 14 + x^2$;

б) $3 - 4x^2 - 11x$;

в) $7x - 6 + 3x^2$;

г) $10x - 25x^2 - 1$.

а) Приведем выражение $9x + 14 + x^2$ к стандартному виду $ax^2+bx+c$: $x^2 + 9x + 14$.
Для разложения на множители найдем корни уравнения $x^2 + 9x + 14 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$.
Корни: $x_1 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-4}{2} = -2$, $x_2 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.
Разложение по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$1 \cdot (x - (-2))(x - (-7)) = (x + 2)(x + 7)$.

б) Приведем выражение $3 - 4x^2 - 11x$ к стандартному виду: $-4x^2 - 11x + 3$.
Найдем корни уравнения $-4x^2 - 11x + 3 = 0$ (или $4x^2 + 11x - 3 = 0$).
Дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$.
Корни: $x_1 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$, $x_2 = \frac{-11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3$.
Разложение по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a=-4$:
$-4(x - \frac{1}{4})(x - (-3)) = -(4x - 1)(x + 3) = (1 - 4x)(x + 3)$.

в) Приведем выражение $7x - 6 + 3x^2$ к стандартному виду: $3x^2 + 7x - 6$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + 7x - 6 = 0$.
Дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$.
Корни: $x_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, $x_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$.
Разложение по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a=3$:
$3(x - \frac{2}{3})(x - (-3)) = (3x - 2)(x + 3)$.

г) Приведем выражение $10x - 25x^2 - 1$ к стандартному виду: $-25x^2 + 10x - 1$.
Вынесем знак минус за скобки: $-(25x^2 - 10x + 1)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a=5x$ и $b=1$.
$25x^2 - 10x + 1 = (5x - 1)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $-(5x - 1)^2$.