Номер 2.133, страница 125 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.133. Разложите на множители:

а) $7a + 7b - c(a + b);$

б) $(4 - a)^2 - 25a^2;$

в) $(2x - 1)^2 - (4x + 1)^2;$

г) $9n^2 - 6n + 1 - (n + 5)^2.$

а) $7a + 7b - c(a + b)$

Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель 7 за скобки:

$7(a + b) - c(a + b)$

Теперь общим множителем для двух слагаемых является выражение $(a + b)$. Вынесем его за скобки:

$(a + b)(7 - c)$

Ответ: $(a + b)(7 - c)$

б) $(4 - a)^2 - 25a^2$

Данное выражение можно представить в виде разности квадратов. Для этого запишем $25a^2$ как $(5a)^2$:

$(4 - a)^2 - (5a)^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = 4 - a$ и $y = 5a$:

$((4 - a) - 5a)((4 - a) + 5a)$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(4 - a - 5a)(4 - a + 5a) = (4 - 6a)(4 + 4a)$

Для полного разложения вынесем общие множители из каждой скобки: 2 из первой и 4 из второй:

$2(2 - 3a) \cdot 4(1 + a) = 8(2 - 3a)(1 + a)$

Ответ: $8(2 - 3a)(a + 1)$

в) $(2x - 1)^2 - (4x + 1)^2$

Это выражение является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2x - 1$ и $b = 4x + 1$:

$((2x - 1) - (4x + 1))((2x - 1) + (4x + 1))$

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые в каждом множителе:

$(2x - 1 - 4x - 1)(2x - 1 + 4x + 1)$

$(-2x - 2)(6x)$

В первом множителе вынесем за скобки общий множитель $-2$:

$-2(x + 1)(6x) = -12x(x + 1)$

Ответ: $-12x(x + 1)$

г) $9n^2 - 6n + 1 - (n + 5)^2$

Рассмотрим первые три члена выражения: $9n^2 - 6n + 1$. Они представляют собой полный квадрат разности, так как соответствуют формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 3n$ и $b = 1$:

$9n^2 - 6n + 1 = (3n)^2 - 2 \cdot 3n \cdot 1 + 1^2 = (3n - 1)^2$

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$(3n - 1)^2 - (n + 5)^2$

Мы получили разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3n - 1$ и $b = n + 5$:

$((3n - 1) - (n + 5))((3n - 1) + (n + 5))$

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:

$(3n - 1 - n - 5)(3n - 1 + n + 5)$

$(2n - 6)(4n + 4)$

Вынесем общие множители из каждой скобки: 2 из первой и 4 из второй:

$2(n - 3) \cdot 4(n + 1) = 8(n - 3)(n + 1)$

Ответ: $8(n - 3)(n + 1)$