Номер 4.33, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.33. Постройте график функции:

a) $y = \frac{6}{x}$;

б) $y = -\frac{8}{x}$.

Укажите область определения, множество значений и промежутки знакопостоянства функции.

Функция $y = \frac{6}{x}$ является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=6$.

1. Построение графика.
Графиком функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k = 6 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: прямая $x=0$ (ось Oy) и прямая $y=0$ (ось Ox).

Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему, составив таблицу значений:

Построив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, получим график функции.

2. Свойства функции.

• Область определения: функция определена для всех значений $x$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. То есть $x \neq 0$.
  $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Множество значений: функция может принимать любые значения $y$, кроме нуля, так как дробь $\frac{6}{x}$ никогда не может быть равна нулю.
  $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • Функция положительна ($y > 0$), когда $\frac{6}{x} > 0$. Так как числитель $6>0$, это неравенство выполняется при $x > 0$. То есть, $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$.
  • Функция отрицательна ($y < 0$), когда $\frac{6}{x} < 0$. Так как числитель $6>0$, это неравенство выполняется при $x < 0$. То есть, $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

Функция $y = -\frac{8}{x}$ является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=-8$.

1. Построение графика.
Графиком функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k = -8 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: прямая $x=0$ (ось Oy) и прямая $y=0$ (ось Ox).

Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему, составив таблицу значений:

Построив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, получим график функции.

2. Свойства функции.

• Область определения: функция определена для всех значений $x$, кроме $x=0$.
  $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Множество значений: функция может принимать любые значения $y$, кроме нуля.
  $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • Функция положительна ($y > 0$), когда $-\frac{8}{x} > 0$. Это неравенство равносильно $\frac{8}{x} < 0$. Так как числитель $8>0$, это выполняется при $x < 0$. То есть, $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
  • Функция отрицательна ($y < 0$), когда $-\frac{8}{x} < 0$. Это неравенство равносильно $\frac{8}{x} > 0$. Так как числитель $8>0$, это выполняется при $x > 0$. То есть, $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.