Номер 4.36, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.36. В одной системе координат постройте графики функций $y = \frac{8}{x}$ и $y = 2x$, найдите координаты их общих точек.

Для решения задачи сначала построим графики заданных функций в одной системе координат, а затем найдем координаты их точек пересечения аналитически, решив систему уравнений.

1. График функции $y = 2x$ — это прямая линия, которая проходит через начало координат (0,0). Для её построения достаточно найти ещё одну точку. Например, если $x=2$, то $y = 2 \cdot 2 = 4$. Таким образом, прямая проходит через точки (0,0) и (2,4).

2. График функции $y = \frac{8}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k=8$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами для графика. Для построения составим таблицу значений:

Построив оба графика в одной системе координат, можно увидеть, что они пересекаются в двух точках.

Ответ: График $y=2x$ является прямой, проходящей через начало координат, а график $y=\frac{8}{x}$ — гиперболой с ветвями в первой и третьей координатных четвертях.

Чтобы найти точные координаты общих точек, нужно решить систему уравнений, приравняв выражения для $y$:

$ \begin{cases} y = \frac{8}{x} \\ y = 2x \end{cases} $

Приравниваем правые части:

$2x = \frac{8}{x}$

Умножим обе части уравнения на $x$, учитывая, что $x \neq 0$ (так как на ноль делить нельзя):

$2x \cdot x = 8$

$2x^2 = 8$

Разделим обе части на 2:

$x^2 = 4$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 2$

$x_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, подставив их в уравнение $y=2x$:

1. При $x_1 = 2$:

$y_1 = 2 \cdot 2 = 4$

Первая точка пересечения: $(2, 4)$.

2. При $x_2 = -2$:

$y_2 = 2 \cdot (-2) = -4$

Вторая точка пересечения: $(-2, -4)$.

Ответ: Координаты общих точек графиков: $(2, 4)$ и $(-2, -4)$.