Номер 4.41, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.41. Расположите в порядке возрастания числа $a, a^2$ и $a^3$, если $a < -1$.

Для того чтобы расположить числа $a$, $a^2$ и $a^3$ в порядке возрастания при условии $a < -1$, проанализируем их свойства и знаки.

1. Определение знаков чисел.

• По условию, $a < -1$, следовательно, число $a$ является отрицательным.
• Число $a^2$ — это квадрат действительного числа, не равного нулю. Квадрат любого такого числа всегда положителен. Значит, $a^2 > 0$.
• Число $a^3$ можно представить как произведение $a^2 \cdot a$. Так как $a^2$ — положительное число, а $a$ — отрицательное, их произведение $a^3$ будет отрицательным. Значит, $a^3 < 0$.

Из этого следует, что $a^2$ — единственное положительное число в наборе, а значит, оно является наибольшим из трех. Теперь осталось сравнить два отрицательных числа: $a$ и $a^3$.

2. Сравнение отрицательных чисел $a$ и $a^3$.

Сравним $a$ и $a^3$. Для этого рассмотрим их разность $a^3 - a$ и определим ее знак. $$a^3 - a = a(a^2 - 1)$$ Проанализируем знаки каждого множителя в этом выражении:

• Первый множитель $a$ — отрицательный (по условию $a < -1$).
• Рассмотрим второй множитель $(a^2 - 1)$. Из условия $a < -1$ следует, что модуль числа $a$ больше единицы: $|a| > 1$. Возводя обе части этого неравенства в квадрат, получаем $|a|^2 > 1^2$, что то же самое, что и $a^2 > 1$. Отсюда следует, что разность $a^2 - 1$ является положительным числом: $a^2 - 1 > 0$.

Теперь определим знак всего произведения $a(a^2 - 1)$. Мы умножаем отрицательное число ($a$) на положительное число ($a^2 - 1$). Результат такого умножения всегда отрицателен: $$a(a^2 - 1) < 0$$ Следовательно, $a^3 - a < 0$. Перенеся $a$ в правую часть неравенства, получаем: $$a^3 < a$$

3. Итоговый порядок.

Мы установили, что $a^3 < a$ и что оба эти числа отрицательны. Число $a^2$ — положительное, и, следовательно, больше любого из них. Располагая числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), получаем следующую последовательность: $a^3$, $a$, $a^2$.

Пример для проверки:
Пусть $a = -2$. Это значение удовлетворяет условию $a < -1$.

• $a = -2$
• $a^2 = (-2)^2 = 4$
• $a^3 = (-2)^3 = -8$

Расположив полученные значения в порядке возрастания, имеем: $-8, -2, 4$. Это соответствует последовательности $a^3, a, a^2$.

Ответ: $a^3, a, a^2$.