Номер 4.38, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.38. Известно, что обратная пропорциональность $y = \frac{k}{x}$ убывает на промежутке $(-\infty; 0)$. В каких координатных четвертях расположен ее график? Найдите промежутки знакопостоянства данной функции.

Дана функция обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$.

Чтобы определить, при каком знаке коэффициента $k$ функция убывает, можно проанализировать её производную. Производная функции $y(x)$ равна: $y' = (\frac{k}{x})' = k \cdot (x^{-1})' = k \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -\frac{k}{x^2}$.

Функция убывает на промежутке, если её производная на этом промежутке отрицательна ($y' < 0$). В данном случае, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$. Подставим условие в неравенство: $-\frac{k}{x^2} < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $\frac{k}{x^2} > 0$

Знаменатель $x^2$ всегда положителен при любом $x \neq 0$. Следовательно, чтобы дробь была положительной, числитель $k$ также должен быть положительным. Таким образом, из условия убывания функции следует, что $k > 0$.

Теперь, зная, что $k > 0$, ответим на вопросы задачи.

В каких координатных четвертях расположен ее график?
График функции обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ представляет собой гиперболу, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

• Если $x > 0$ (I и IV четверти), то $y = \frac{k}{x}$ будет положительным (так как $k > 0$). Это соответствует I координатной четверти.
• Если $x < 0$ (II и III четверти), то $y = \frac{k}{x}$ будет отрицательным (так как $k > 0$). Это соответствует III координатной четверти.

Ответ: график функции расположен в I и III координатных четвертях.

Найдите промежутки знакопостоянства данной функции.
Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак. Так как $k > 0$, знак функции $y$ зависит только от знака $x$.

• Функция положительна ($y > 0$), когда $\frac{k}{x} > 0$. Учитывая, что $k > 0$, это неравенство выполняется при $x > 0$.
• Функция отрицательна ($y < 0$), когда $\frac{k}{x} < 0$. Учитывая, что $k > 0$, это неравенство выполняется при $x < 0$.

Ответ: функция положительна ($y>0$) на промежутке $(0; +\infty)$, функция отрицательна ($y<0$) на промежутке $(-\infty; 0)$.