Номер 4.44, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.44. Вынесите множитель за знак корня в выражении $\sqrt{18x^6}$ при $x \le 0$.

Чтобы вынести множитель за знак корня в выражении $\sqrt{18x^6}$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разложить подкоренное выражение на множители.

   Подкоренное выражение $18x^6$ можно представить в виде произведения множителей, из которых удобно извлекать квадратный корень.
   Число 18 можно разложить как $18 = 9 \cdot 2 = 3^2 \cdot 2$.
   Степень $x^6$ можно представить как квадрат выражения: $x^6 = (x^3)^2$.
   Таким образом, подкоренное выражение равно: $18x^6 = 9 \cdot 2 \cdot (x^3)^2$.

2. Применить свойство корня из произведения.

   Свойство квадратного корня гласит, что корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$).
   $\sqrt{18x^6} = \sqrt{9 \cdot (x^3)^2 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{(x^3)^2} \cdot \sqrt{2}$.

3. Извлечь корни из полученных множителей.

   $\sqrt{9} = 3$.
   Для извлечения корня из переменной в четной степени используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.
   $\sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$.
   Таким образом, выражение преобразуется к виду: $3 \cdot |x^3| \cdot \sqrt{2}$.

4. Раскрыть модуль с учетом условия $x \le 0$.

   По условию задачи, $x$ - неположительное число ($x \le 0$). Если возвести неположительное число в нечетную степень (в данном случае в куб), результат также будет неположительным. То есть, если $x \le 0$, то $x^3 \le 0$.
   По определению модуля, $|a| = -a$, если $a \le 0$.
   Следовательно, $|x^3| = -x^3$.

5. Получить окончательный ответ.

   Подставим раскрытый модуль в наше выражение:
   $3 \cdot (-x^3) \cdot \sqrt{2} = -3x^3\sqrt{2}$.

Ответ: $-3x^3\sqrt{2}$