Номер 4.40, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.40. Постройте график функции $y = -\frac{15}{|x|}$.

Для построения графика функции $y = -\frac{15}{|x|}$ необходимо проанализировать ее свойства и рассмотреть поведение функции в зависимости от знака $x$.

1. Анализ свойств функции

• Область определения: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $|x| \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой графика.
• Четность функции: Проверим, как изменится значение функции при замене $x$ на $-x$: $y(-x) = -\frac{15}{|-x|} = -\frac{15}{|x|} = y(x)$. Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).
• Область значений: Так как $|x|$ всегда положителен при $x \neq 0$, а числитель $(-15)$ отрицателен, вся дробь будет отрицательной. Таким образом, $y < 0$ для всех $x$ из области определения. График функции полностью расположен в нижней полуплоскости (ниже оси $Ox$). Прямая $y=0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой.

2. Раскрытие модуля и построение по частям

Используем определение модуля, чтобы представить функцию в виде системы:

$y = \begin{cases} -\frac{15}{x}, & \text{если } x > 0 \\-\frac{15}{-x} = \frac{15}{x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Таким образом, для построения итогового графика нужно:

1. При $x > 0$ построить график функции $y = -\frac{15}{x}$. Это стандартная ветвь гиперболы, расположенная в IV координатной четверти.
2. При $x < 0$ построить график функции $y = \frac{15}{x}$. Это стандартная ветвь гиперболы, расположенная в III координатной четверти.

Также можно построить график для $x > 0$, а затем, используя свойство четности, симметрично отразить его относительно оси $Oy$ для получения части графика при $x < 0$.

3. Таблица ключевых точек

Чтобы построить график точнее, вычислим координаты нескольких точек.

4. Итоговый график

На координатной плоскости отмечаем вычисленные точки. Соединяем их плавными линиями, учитывая, что график приближается к осям координат (асимптотам), но не пересекает их. График состоит из двух симметричных ветвей, расположенных в III и IV координатных четвертях.