Номер 4.39, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.39. Определите, сколько точек, у которых абсцисса равна ординате, имеет график функции:

a) $y = \frac{36}{x}$;

б) $y = \frac{5}{x}$.

Найдите координаты всех таких точек.

Чтобы определить, сколько точек, у которых абсцисса равна ординате, имеет график функции, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения функции и уравнения $y = x$. Условие "абсцисса равна ординате" означает, что координата $x$ равна координате $y$.

а) Для функции $y = \frac{36}{x}$ подставим условие $y = x$ в уравнение:

$x = \frac{36}{x}$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на $x$. Это можно сделать, так как $x \neq 0$ согласно области определения функции.

$x \cdot x = 36$

$x^2 = 36$

У этого квадратного уравнения есть два корня:

$x_1 = \sqrt{36} = 6$

$x_2 = -\sqrt{36} = -6$

Поскольку $y = x$, то соответствующие значения ординат будут такими же.

Мы получаем две точки: $(6, 6)$ и $(-6, -6)$.

Ответ: график функции имеет 2 точки, у которых абсцисса равна ординате: $(6, 6)$ и $(-6, -6)$.

б) Для функции $y = \frac{5}{x}$ также подставим условие $y = x$:

$x = \frac{5}{x}$

Умножим обе части на $x$ (где $x \neq 0$):

$x^2 = 5$

Корнями этого уравнения являются:

$x_1 = \sqrt{5}$

$x_2 = -\sqrt{5}$

Так как $y = x$, то соответствующие ординаты равны найденным абсциссам.

Таким образом, мы получаем две точки: $(\sqrt{5}, \sqrt{5})$ и $(-\sqrt{5}, -\sqrt{5})$.

Ответ: график функции имеет 2 точки, у которых абсцисса равна ординате: $(\sqrt{5}, \sqrt{5})$ и $(-\sqrt{5}, -\sqrt{5})$.