Номер 4.26, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.26. Постройте график функции:

а) $y = -\frac{6}{|x|};$

б) $y = \frac{8}{|x|}.$

Для построения графика функции $y = -\frac{6}{|x|}$ рассмотрим ее свойства.

1. Область определения функции.
   Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x| \neq 0$, что означает $x \neq 0$.
   Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Раскрытие модуля.
   Функцию можно представить в виде кусочно-заданной функции, раскрыв модуль $|x|$ по определению:
   $|x| = x$ при $x > 0$
   $|x| = -x$ при $x < 0$
   Таким образом, получаем систему:
   $y = \begin{cases} -\frac{6}{x}, & \text{если } x > 0 \\ -\frac{6}{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases} \implies y = \begin{cases} -\frac{6}{x}, & \text{если } x > 0 \\ \frac{6}{x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
3. Свойства и построение графика.

   Заметим, что функция является четной, так как $y(-x) = -\frac{6}{|-x|} = -\frac{6}{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Поэтому достаточно построить ветвь для $x > 0$ и отразить ее симметрично относительно оси OY.

   • При $x > 0$ строим график функции $y = -\frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в IV координатной четверти (так как $x > 0$, а $y < 0$). Найдем несколько точек для построения:
     • при $x=1$, $y=-6$
     • при $x=2$, $y=-3$
     • при $x=3$, $y=-2$
     • при $x=6$, $y=-1$
   • Отражаем эту ветвь симметрично относительно оси OY и получаем вторую ветвь графика, расположенную в III координатной четверти. Эта ветвь соответствует функции $y = \frac{6}{x}$ при $x < 0$. Контрольные точки:
     • при $x=-1$, $y=-6$
     • при $x=-2$, $y=-3$
     • при $x=-3$, $y=-2$
     • при $x=-6$, $y=-1$

   Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика.

Ответ: График функции $y = -\frac{6}{|x|}$ представляет собой две ветви гиперболы. Одна ветвь расположена в третьей координатной четверти, а другая — в четвертой. График симметричен относительно оси ординат. Асимптотами являются оси координат.

Для построения графика функции $y = \frac{8}{|x|}$ выполним аналогичные действия.

1. Область определения функции.
   Знаменатель дроби не равен нулю: $|x| \neq 0$, следовательно $x \neq 0$.
   Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Раскрытие модуля.
   Раскроем модуль $|x|$ в зависимости от знака $x$:
   $y = \begin{cases} \frac{8}{x}, & \text{если } x > 0 \\ \frac{8}{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases} \implies y = \begin{cases} \frac{8}{x}, & \text{если } x > 0 \\ -\frac{8}{x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
3. Свойства и построение графика.

   Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{8}{|-x|} = \frac{8}{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Построим часть графика для $x>0$ и отразим ее относительно оси OY.

   • При $x > 0$ строим график функции $y = \frac{8}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в I координатной четверти (так как $x > 0$ и $y > 0$). Найдем несколько точек для построения:
     • при $x=1$, $y=8$
     • при $x=2$, $y=4$
     • при $x=4$, $y=2$
     • при $x=8$, $y=1$
   • Симметрично отразив эту ветвь относительно оси OY, получаем вторую ветвь графика, которая находится во II координатной четверти. Она соответствует функции $y = -\frac{8}{x}$ при $x < 0$. Контрольные точки:
     • при $x=-1$, $y=8$
     • при $x=-2$, $y=4$
     • при $x=-4$, $y=2$
     • при $x=-8$, $y=1$

   Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика.

Ответ: График функции $y = \frac{8}{|x|}$ состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в первой и второй координатных четвертях. График симметричен относительно оси ординат. Асимптотами являются оси координат.