Номер 4.21, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.21. Известно, что график обратной пропорциональности $f(x) = \frac{k}{x}$ проходит через точку A(-13; 59).

Определите, имеет ли общие точки гипербола $f(x) = \frac{k}{x}$ и график функции:

a) $g(x) = \frac{17}{x}$;

б) $h(x) = -5x$.

Сначала найдем значение коэффициента $k$ для функции обратной пропорциональности $f(x) = \frac{k}{x}$. По условию, график этой функции проходит через точку A(-13; 59). Это означает, что при подстановке координат точки в уравнение функции мы получим верное равенство.

Подставим $x = -13$ и $f(x) = 59$:

$59 = \frac{k}{-13}$

Выразим $k$ из этого уравнения, умножив обе части на -13:

$k = 59 \cdot (-13) = -767$

Таким образом, формула исходной гиперболы: $f(x) = \frac{-767}{x}$.

Теперь определим, имеет ли эта гипербола общие точки с графиками других функций.

a) $g(x) = \frac{17}{x};$

Общие точки двух графиков — это точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих функций. Чтобы найти их, приравняем функции $f(x)$ и $g(x)$:

$f(x) = g(x)$

$\frac{-767}{x} = \frac{17}{x}$

Поскольку знаменатели дробей одинаковы и не равны нулю ($x \neq 0$), равенство возможно только если равны их числители:

$-767 = 17$

Полученное равенство является ложным. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором $f(x) = g(x)$. Следовательно, графики функций не имеют общих точек.

Ответ: нет.

б) $h(x) = -5x.$

Аналогично, приравняем функции $f(x)$ и $h(x)$ для нахождения общих точек:

$f(x) = h(x)$

$\frac{-767}{x} = -5x$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$-767 = -5x^2$

Теперь разделим обе части на -5, чтобы выразить $x^2$:

$x^2 = \frac{-767}{-5} = \frac{767}{5}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{767}{5}$ в смешанное число, выделив целую часть:

$767 \div 5 = 153$ с остатком 2. Значит, $\frac{767}{5} = 153\frac{2}{5}$.

Наше уравнение принимает вид:

$x^2 = 153\frac{2}{5}$

Так как в правой части уравнения стоит положительное число, уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt{153\frac{2}{5}}$ и $x_2 = -\sqrt{153\frac{2}{5}}$. Наличие действительных корней означает, что графики функций $f(x)$ и $h(x)$ пересекаются в двух точках.

Ответ: да.