Номер 4.14, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.14. Выразите количество тетрадей $n$, которое можно купить на сумму 20 р., как функцию от цены тетради $x$ (р.), где $x \in N$, $x \le 10$. Постройте график этой функции.

Пусть $n$ — количество тетрадей, которое можно купить, а $x$ (р.) — цена одной тетради. Общая стоимость $n$ тетрадей по цене $x$ составляет $n \cdot x$ рублей. По условию задачи, на покупку имеется 20 рублей, следовательно, общая стоимость не может превышать эту сумму: $$n \cdot x \le 20$$

Чтобы выразить количество тетрадей $n$ как функцию от цены $x$, разделим обе части неравенства на $x$: $$n \le \frac{20}{x}$$

Так как количество тетрадей $n$ может быть только целым неотрицательным числом (нельзя купить часть тетради), необходимо взять целую часть от частного $\frac{20}{x}$. Функция, выражающая зависимость количества тетрадей $n$ от цены $x$, имеет вид: $$n(x) = \lfloor \frac{20}{x} \rfloor$$ где знак $\lfloor \cdot \rfloor$ обозначает взятие целой части числа (округление вниз до ближайшего целого).

Согласно условию, цена $x$ является натуральным числом ($x \in N$) и не превышает 10 ($x \le 10$). Следовательно, область определения нашей функции — это множество целых чисел от 1 до 10.

Построение графика функции

Для построения графика найдем значения функции $n(x)$ для каждого возможного значения $x$ из области определения.

• При x = 1: $n = \lfloor \frac{20}{1} \rfloor = 20$. Ответ: 20
• При x = 2: $n = \lfloor \frac{20}{2} \rfloor = 10$. Ответ: 10
• При x = 3: $n = \lfloor \frac{20}{3} \rfloor = \lfloor 6\frac{2}{3} \rfloor = 6$. Ответ: 6
• При x = 4: $n = \lfloor \frac{20}{4} \rfloor = 5$. Ответ: 5
• При x = 5: $n = \lfloor \frac{20}{5} \rfloor = 4$. Ответ: 4
• При x = 6: $n = \lfloor \frac{20}{6} \rfloor = \lfloor 3\frac{1}{3} \rfloor = 3$. Ответ: 3
• При x = 7: $n = \lfloor \frac{20}{7} \rfloor = \lfloor 2\frac{6}{7} \rfloor = 2$. Ответ: 2
• При x = 8: $n = \lfloor \frac{20}{8} \rfloor = \lfloor 2\frac{4}{8} \rfloor = \lfloor 2\frac{1}{2} \rfloor = 2$. Ответ: 2
• При x = 9: $n = \lfloor \frac{20}{9} \rfloor = \lfloor 2\frac{2}{9} \rfloor = 2$. Ответ: 2
• При x = 10: $n = \lfloor \frac{20}{10} \rfloor = 2$. Ответ: 2

График этой функции не является сплошной линией, так как её область определения состоит из отдельных натуральных чисел. График представляет собой набор точек с координатами $(x, n)$:

(1, 20), (2, 10), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 2), (9, 2), (10, 2).

Визуальное представление графика: