Номер 4.13, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.13. Укажите множество значений функции $y = -\frac{12}{x}$ и постройте ее график. Верно ли, что значения функции отрицательны при $x < 0$? Найдите координаты точек, в которых гипербола $y = -\frac{12}{x}$ пересекается с прямой $y = -4; y = 6$.

Укажите множество значений функции $y = -\frac{12}{x}$ и постройте ее график.

1. Множество значений функции

Функция $y = -\frac{12}{x}$ является обратной пропорциональностью. Чтобы найти её множество значений (также называемое областью значений), можно выразить переменную $x$ через $y$. Из уравнения $y = -\frac{12}{x}$ следует, что $x = -\frac{12}{y}$. Данное выражение определено для всех действительных значений $y$, кроме $y=0$, поскольку деление на ноль недопустимо. Следовательно, множество значений функции — это все действительные числа, кроме нуля.

2. Построение графика

Графиком функции является гипербола. Так как коэффициент $k = -12$ отрицателен, ветви гиперболы располагаются во второй (II) и четвертой (IV) координатных четвертях. Асимптотами графика, то есть прямыми, к которым приближаются ветви гиперболы, являются оси координат: $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox).

Для более точного построения графика составим таблицу значений для нескольких точек на каждой ветви:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными кривыми, которые приближаются к осям, мы получим искомый график.

Ответ: Множество значений функции: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях и асимптотами $x=0$ и $y=0$.

Верно ли, что значения функции отрицательны при $x < 0$?

Проанализируем знак функции $y = -\frac{12}{x}$ при условии $x < 0$.
Если $x$ — отрицательное число ($x < 0$), то знаменатель дроби отрицателен. Числитель дроби, -12, также является отрицательным числом. Деление одного отрицательного числа на другое даёт в результате положительное число.
Например, при $x = -4$, значение функции $y = -\frac{12}{-4} = 3$, что является положительным числом.
Таким образом, утверждение, что значения функции отрицательны при $x < 0$, является неверным.

Ответ: Нет, неверно. При $x < 0$ значения функции положительны ($y > 0$).

Найдите координаты точек, в которых гипербола $y = -\frac{12}{x}$ пересекается с прямой $y = -4; y = 6$.

Для нахождения координат точек пересечения необходимо решить систему уравнений для каждого случая, подставив заданные значения $y$ в уравнение гиперболы.

1. Пересечение с прямой $y = -4$:

Приравниваем правые части уравнений $y = -\frac{12}{x}$ и $y=-4$:

$-\frac{12}{x} = -4$

Умножим обе части на $x$ (поскольку $x \neq 0$):

$-12 = -4x$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{-12}{-4} = 3$

Таким образом, координаты первой точки пересечения: $(3, -4)$.

2. Пересечение с прямой $y = 6$:

Аналогично, приравниваем правые части уравнений $y = -\frac{12}{x}$ и $y=6$:

$-\frac{12}{x} = 6$

Умножим обе части на $x$:

$-12 = 6x$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{-12}{6} = -2$

Таким образом, координаты второй точки пересечения: $(-2, 6)$.

Ответ: Координаты точек пересечения: $(3, -4)$ и $(-2, 6)$.