Номер 4.9, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.9. Дана функция $g(x) = \frac{29}{x}$. Расположите в порядке убывания:

а) $g(13)$; $g(23)$; $g(38)$;

б) $g(-6.49)$; $g(-6.52)$; $g(-6.78)$.

Дана функция обратной пропорциональности $g(x) = \frac{29}{x}$.

Это гипербола, у которой коэффициент $k=29$ положителен. Следовательно, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях, а сама функция является убывающей на каждом из своих промежутков определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Это означает, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из одного и того же промежутка, если $x_1 < x_2$, то значение функции $g(x_1) > g(x_2)$.

а) Требуется расположить в порядке убывания $g(13); g(23); g(38)$.

Аргументы функции $x_1 = 13$, $x_2 = 23$ и $x_3 = 38$ все положительны, то есть принадлежат промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция $g(x)$ убывает.

Сравним аргументы: $13 < 23 < 38$.

Поскольку функция убывающая, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Таким образом, $g(13) > g(23) > g(38)$.

Для наглядности и выполнения требования о выделении целой части, вычислим значения:

• $g(13) = \frac{29}{13} = \mathbf{2} \frac{3}{13}$
• $g(23) = \frac{29}{23} = \mathbf{1} \frac{6}{23}$
• $g(38) = \frac{29}{38}$ (это правильная дробь, целая часть равна 0).

Сравнение значений $\mathbf{2} \frac{3}{13} > \mathbf{1} \frac{6}{23} > \frac{29}{38}$ подтверждает полученный порядок.

Ответ: $g(13); g(23); g(38)$.

б) Требуется расположить в порядке убывания $g(-6,49); g(-6,52); g(-6,78)$.

Аргументы функции $x_1 = -6,49$, $x_2 = -6,52$ и $x_3 = -6,78$ все отрицательны, то есть принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$, на котором функция $g(x)$ также убывает.

Сравним аргументы: $-6,78 < -6,52 < -6,49$.

Так как функция убывающая, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $g(-6,78) > g(-6,52) > g(-6,49)$.

Для наглядности и выполнения требования о выделении целой части, вычислим значения, представив их в виде смешанных дробей:

• $g(-6,78) = \frac{29}{-6,78} = -\frac{2900}{678} = -\frac{1450}{339} = -\mathbf{4} \frac{94}{339}$
• $g(-6,52) = \frac{29}{-6,52} = -\frac{2900}{652} = -\frac{725}{163} = -\mathbf{4} \frac{73}{163}$
• $g(-6,49) = \frac{29}{-6,49} = -\frac{2900}{649} = -\mathbf{4} \frac{304}{649}$

Сравнение абсолютных величин $|g(-6,78)| \approx 4,277$, $|g(-6,52)| \approx 4,448$, $|g(-6,49)| \approx 4,468$ показывает, что $|g(-6,78)| < |g(-6,52)| < |g(-6,49)|$. Так как числа отрицательные, порядок для них обратный: $g(-6,78) > g(-6,52) > g(-6,49)$, что подтверждает наш вывод.

Ответ: $g(-6,78); g(-6,52); g(-6,49)$.