Номер 4.12, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.12. Укажите область определения функции $y = \frac{8}{x}$ и постройте ее график. Возрастает или убывает данная функция при $x < 0$?

Укажите область определения функции $y=\frac{8}{x}$

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной $x$), при которых функция имеет смысл. Данная функция $y=\frac{8}{x}$ является дробно-рациональной.

Единственное ограничение для таких функций связано с тем, что знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как операция деления на ноль не определена в математике. Поэтому необходимо найти значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключить их из области определения.

В нашем случае знаменатель равен $x$. Приравниваем его к нулю:

$x = 0$

Следовательно, $x$ не может быть равен нулю. Областью определения функции являются все действительные числа, за исключением 0.

Это можно записать в виде объединения двух интервалов: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: все действительные числа, кроме 0, или $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Постройте ее график

Функция $y=\frac{8}{x}$ является обратной пропорциональностью. Ее график — гипербола. Так как коэффициент $k=8$ положителен ($k>0$), ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях. Прямые $x=0$ (ось ординат) и $y=0$ (ось абсцисс) являются асимптотами графика, то есть линиями, к которым ветви гиперболы бесконечно приближаются, но никогда их не пересекают.

Для более точного построения графика составим таблицу значений функции для нескольких точек:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим их плавными линиями, не пересекая оси координат.

Ответ: График функции (гипербола) построен выше.

Возрастает или убывает данная функция при $x < 0$?

Для определения характера монотонности функции на промежутке $x < 0$, то есть на интервале $(-\infty; 0)$, необходимо выяснить, как ведет себя значение функции $y$ при увеличении аргумента $x$ на этом интервале.

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Возьмем для примера две точки из интервала $(-\infty; 0)$: $x_1 = -4$ и $x_2 = -2$. Условие $x_1 < x_2$ выполняется, так как $-4 < -2$.

Найдем значения функции в этих точках:

$y_1 = f(x_1) = \frac{8}{-4} = -2$

$y_2 = f(x_2) = \frac{8}{-2} = -4$

Сравним полученные значения: $y_1 = -2$ и $y_2 = -4$. Поскольку $-2 > -4$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

Так как большему значению аргумента ($x_2$) соответствует меньшее значение функции ($y_2$), функция является убывающей на промежутке $(-\infty; 0)$. Это свойство сохраняется для любых двух точек на данном интервале, а также на интервале $(0; +\infty)$.

Ответ: Убывает.