Номер 4.18, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.18. В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их общих точек:

а) $y = \frac{6}{x}$ и $y = -x + 5$;

б) $y = \frac{4}{x}$ и $y = x$.

а) Рассмотрим функции $y = \frac{6}{x}$ и $y = -x + 5$.

1. Построение графиков.

• График функции $y = \frac{6}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k=6 > 0$, ее ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат ($x=0$ и $y=0$). Для построения графика составим таблицу значений:

  $x$	-6	-3	-2	-1	1	2	3	6
  $y$	-1	-2	-3	-6	6	3	2	1

• График функции $y = -x + 5$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек. Найдем точки пересечения прямой с осями координат:
  • При $x=0$, $y = -0 + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.
  • При $y=0$, $0 = -x + 5$, откуда $x=5$. Точка $(5, 0)$.
  Соединив эти две точки, получим график прямой.

2. Нахождение координат общих точек.

Чтобы найти координаты точек пересечения, нужно решить систему уравнений. Приравняем правые части выражений для $y$:

$\frac{6}{x} = -x + 5$

Так как $x \neq 0$ (из области определения функции $y = \frac{6}{x}$), умножим обе части уравнения на $x$:

$6 = -x^2 + 5x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в уравнение прямой $y = -x + 5$:

• Для $x_1 = 2$: $y_1 = -2 + 5 = 3$.
• Для $x_2 = 3$: $y_2 = -3 + 5 = 2$.

Таким образом, точки пересечения графиков имеют координаты $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Ответ: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

б) Рассмотрим функции $y = \frac{4}{x}$ и $y = x$.

1. Построение графиков.

• График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях ($k=4 > 0$). Асимптоты — оси $Ox$ и $Oy$. Составим таблицу значений:

  $x$	-4	-2	-1	1	2	4
  $y$	-1	-2	-4	4	2	1

• График функции $y = x$ — это прямая, которая является биссектрисой I и III координатных углов. Она проходит через начало координат $(0, 0)$ и, например, точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

2. Нахождение координат общих точек.

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{4}{x} = x$

Умножим обе части на $x$ (при $x \neq 0$):

$4 = x^2$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = \sqrt{4} = 2$

$x_2 = -\sqrt{4} = -2$

Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y = x$:

• Для $x_1 = 2$: $y_1 = 2$.
• Для $x_2 = -2$: $y_2 = -2$.

Следовательно, точки пересечения имеют координаты $(2, 2)$ и $(-2, -2)$.

Ответ: $(2, 2)$ и $(-2, -2)$.