Номер 4.20, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.20. График обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$ расположен в первой и третьей координатных четвертях. Найдите промежутки знакопостоянства и промежутки монотонности данной функции.

Функция обратной пропорциональности задана формулой $y = \frac{k}{x}$.

По условию, график этой функции расположен в первой и третьей координатных четвертях. Такое расположение ветвей гиперболы возможно только в том случае, если коэффициент пропорциональности $k$ является положительным числом, то есть $k > 0$.

Проанализируем свойства этой функции.

Промежутки знакопостоянства

Промежутки знакопостоянства – это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (положительный или отрицательный).

• Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда ее график находится в первой координатной четверти. Это соответствует значениям аргумента $x > 0$.
• Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда ее график находится в третьей координатной четверти. Это соответствует значениям аргумента $x < 0$.

Ответ: функция положительна ($y > 0$) на промежутке $(0; +\infty)$; функция отрицательна ($y < 0$) на промежутке $(-\infty; 0)$.

Промежутки монотонности

Промежутки монотонности – это интервалы, на которых функция только возрастает или только убывает. Для функции $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ характерно следующее поведение:

• На промежутке $(-\infty; 0)$: с увеличением $x$ (например, от -10 до -1), значение $y = \frac{k}{x}$ также увеличивается (от $-\frac{k}{10}$ до $-k$), но так как это отрицательные числа, то значение функции уменьшается. Следовательно, функция убывает.
• На промежутке $(0; +\infty)$: с увеличением $x$ (например, от 1 до 10), значение $y = \frac{k}{x}$ уменьшается (от $k$ до $\frac{k}{10}$). Следовательно, функция также убывает.

Важно отметить, что функция убывает на каждом из двух интервалов своей области определения по отдельности.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.