Номер 10, страница 39 - гдз по физике 8 класс учебник Исаченкова, Громыко

10. Для плавления стали, имеющей начальную температуру $t_1 = 20^\circ C$, был сожжен каменный уголь марки А-I массой $m = 20$ кг. Какая масса стали расплавилась, если на плавление затрачено $50 \%$ теплоты, полученной от сгорания угля?

Дано:

Начальная температура стали $t_1 = 20 ^\circ\text{C}$

Масса каменного угля $m_{угля} = 20 \, \text{кг}$

КПД процесса (доля тепла, пошедшая на плавление) $\eta = 50 \% = 0.5$

Для решения задачи воспользуемся справочными данными:

Удельная теплота сгорания каменного угля (антрацита) $q_{угля} = 3.0 \cdot 10^7 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Удельная теплоемкость стали $c_{стали} = 500 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot ^\circ\text{C}}$

Температура плавления стали $t_{пл} = 1500 ^\circ\text{C}$

Удельная теплота плавления стали $\lambda_{стали} = 2.7 \cdot 10^5 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Все данные представлены в системе СИ или совместимы с ней (градусы Цельсия используются для разности температур, что эквивалентно Кельвинам).

Найти:

Массу расплавленной стали $m_{стали}$.

Решение:

1. Сначала определим общее количество теплоты ($Q_{угля}$), которое выделится при сгорании 20 кг каменного угля. Это можно рассчитать по формуле:

$Q_{угля} = q_{угля} \cdot m_{угля}$

2. Согласно условию задачи, только 50% этой теплоты идет на нагревание и плавление стали. Найдем полезное количество теплоты ($Q_{полезн}$):

$Q_{полезн} = \eta \cdot Q_{угля} = \eta \cdot q_{угля} \cdot m_{угля}$

3. Количество теплоты, необходимое для плавления стали ($Q_{стали}$), складывается из двух процессов:

• Нагревание стали от начальной температуры $t_1$ до температуры плавления $t_{пл}$. Количество теплоты для этого процесса ($Q_{нагрев}$) равно:
  $Q_{нагрев} = c_{стали} \cdot m_{стали} \cdot (t_{пл} - t_1)$
• Плавление стали при температуре плавления. Количество теплоты для этого процесса ($Q_{плавление}$) равно:
  $Q_{плавление} = \lambda_{стали} \cdot m_{стали}$

Таким образом, общее количество теплоты, необходимое для расплавления стали, равно сумме этих двух величин:

$Q_{стали} = Q_{нагрев} + Q_{плавление} = c_{стали} \cdot m_{стали} \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda_{стали} \cdot m_{стали}$

Вынесем массу стали $m_{стали}$ за скобки:

$Q_{стали} = m_{стали} \cdot (c_{стали} \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda_{стали})$

4. Составим уравнение теплового баланса, приравняв полезную теплоту от сгорания угля к теплоте, поглощенной сталью:

$Q_{полезн} = Q_{стали}$

$\eta \cdot q_{угля} \cdot m_{угля} = m_{стали} \cdot (c_{стали} \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda_{стали})$

5. Выразим из этого уравнения искомую массу стали $m_{стали}$:

$m_{стали} = \frac{\eta \cdot q_{угля} \cdot m_{угля}}{c_{стали} \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda_{стали}}$

6. Подставим числовые значения и произведем расчет:

$m_{стали} = \frac{0.5 \cdot 3.0 \cdot 10^7 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 20 \, \text{кг}}{500 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot ^\circ\text{C}} \cdot (1500 \, ^\circ\text{C} - 20 \, ^\circ\text{C}) + 2.7 \cdot 10^5 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}}$

$m_{стали} = \frac{3 \cdot 10^8 \, \text{Дж}}{500 \cdot 1480 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 2.7 \cdot 10^5 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}}$

$m_{стали} = \frac{3 \cdot 10^8 \, \text{Дж}}{740000 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 270000 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}}$

$m_{стали} = \frac{3 \cdot 10^8 \, \text{Дж}}{1010000 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} = \frac{3 \cdot 10^8}{1.01 \cdot 10^6} \, \text{кг} \approx 297.03 \, \text{кг}$

Округлим результат до целого числа.

Ответ: масса расплавленной стали составляет приблизительно 297 кг.