Номер 2.33, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.33. Приведите пример графика функции $y = f(x)$, для которой известно, что $D(f) = [-5; 6]$; $E(f) = [-3; 4]$; $f(-2) = 2$.

Чтобы построить пример графика функции $y = f(x)$, удовлетворяющей заданным условиям, необходимо выполнить три требования:

• Область определения $D(f) = [-5; 6]$: Это означает, что график функции должен существовать только для значений $x$ в промежутке от -5 до 6, включая концы.
• Область значений $E(f) = [-3; 4]$: Это означает, что все значения $y$, принимаемые функцией, должны находиться в промежутке от -3 до 4. При этом должны существовать такие точки, в которых функция достигает своего минимума $(-3)$ и максимума $(4)$.
• Значение в точке $f(-2) = 2$: Это означает, что график функции должен проходить через точку с координатами $(-2, 2)$.

Существует бесконечное множество функций, удовлетворяющих этим условиям. Приведем один из самых простых примеров – кусочно-линейную функцию. Для ее построения достаточно определить несколько ключевых точек и соединить их отрезками прямых.

Выберем ключевые точки так, чтобы удовлетворить всем условиям:

1. Для выполнения условий $D(f) = [-5; 6]$ и $E(f) = [-3; 4]$, пусть левая граница графика находится в точке, где функция достигает своего минимума. Возьмем точку $A(-5, -3)$.
2. Для выполнения условия $f(-2) = 2$, график должен проходить через точку $B(-2, 2)$.
3. Для полного выполнения условий $D(f) = [-5; 6]$ и $E(f) = [-3; 4]$, пусть правая граница графика находится в точке, где функция достигает своего максимума. Возьмем точку $C(6, 4)$.

Теперь построим график, соединив последовательно точки $A$, $B$ и $C$ отрезками прямых. Получится ломаная линия.

Проверим соответствие полученного графика заданным условиям:

• Область определения: График построен для $x$ от $-5$ до $6$. Таким образом, $D(f) = [-5; 6]$. Условие выполнено.
• Область значений: Наименьшее значение функции на графике равно ординате точки $A$, то есть $-3$. Наибольшее значение равно ординате точки $C$, то есть $4$. Поскольку функция на отрезках непрерывна, она принимает все промежуточные значения между $-3$ и $4$. Таким образом, $E(f) = [-3; 4]$. Условие выполнено.
• Значение в точке: График проходит через точку $B(-2, 2)$, следовательно $f(-2) = 2$. Условие выполнено.

Таким образом, график, представляющий собой ломаную линию с вершинами в точках $A(-5, -3)$, $B(-2, 2)$ и $C(6, 4)$, является примером функции, удовлетворяющей всем заданным условиям.