Номер 2.39, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.39. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство $a(a + 5) < (a + 3)(a + 2)$.

Для того чтобы доказать, что неравенство $a(a + 5) < (a + 3)(a + 2)$ верно при любом значении переменной, мы выполним равносильные преобразования, упростив обе части неравенства.

Шаг 1: Раскроем скобки в левой части.

Умножим $a$ на каждый член в скобках:

$a(a + 5) = a \cdot a + a \cdot 5 = a^2 + 5a$

Шаг 2: Раскроем скобки в правой части.

Перемножим двучлены $(a + 3)$ и $(a + 2)$ по правилу "каждый член первого на каждый член второго":

$(a + 3)(a + 2) = a \cdot a + a \cdot 2 + 3 \cdot a + 3 \cdot 2 = a^2 + 2a + 3a + 6$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 + (2a + 3a) + 6 = a^2 + 5a + 6$

Шаг 3: Подставим упрощенные выражения в исходное неравенство.

Теперь неравенство имеет вид:

$a^2 + 5a < a^2 + 5a + 6$

Шаг 4: Упростим полученное неравенство.

Для дальнейшего упрощения вычтем из обеих частей неравенства выражение $a^2 + 5a$:

$(a^2 + 5a) - (a^2 + 5a) < (a^2 + 5a + 6) - (a^2 + 5a)$

После вычитания в левой части остается 0, а в правой 6:

$0 < 6$

Вывод:

В результате преобразований мы получили верное числовое неравенство $0 < 6$. Это неравенство истинно и не зависит от значения переменной $a$. Поскольку все шаги преобразований были равносильными (то есть сохраняли верность неравенства), то и исходное неравенство $a(a + 5) < (a + 3)(a + 2)$ является верным для любого значения переменной $a$.

Что и требовалось доказать.