Номер 2.44, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.44. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

а) $f(x)=5x^2-3x$;

б) $g(x)=4-x^2$.

Промежутки знакопостоянства функции — это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. остается либо строго положительной, либо строго отрицательной). Для нахождения этих промежутков необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти нули функции, то есть значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю.
2. Отметить найденные нули на числовой оси. Эти точки разделят ось на несколько интервалов.
3. Определить знак функции на каждом из этих интервалов. Для квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$ это удобно сделать, проанализировав направление ветвей параболы, которая является её графиком:
   • Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция положительна вне интервала между корнями и отрицательна между корнями.
   • Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция положительна между корнями и отрицательна вне интервала между корнями.

а) $f(x) = 5x^2 - 3x$

1. Найдем нули функции, решив уравнение $f(x) = 0$:

$5x^2 - 3x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 3) = 0$

Корни уравнения:

$x_1 = 0$

$5x - 3 = 0 \Rightarrow 5x = 3 \Rightarrow x_2 = \frac{3}{5}$

2. Нули функции $x=0$ и $x=\frac{3}{5}$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{3}{5})$ и $(\frac{3}{5}; +\infty)$.

3. Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 5, что больше нуля ($5 > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция принимает положительные значения по бокам от корней и отрицательные — между корнями.

Таким образом:

• $f(x) > 0$ (функция положительна) при $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{3}{5}; +\infty)$.
• $f(x) < 0$ (функция отрицательна) при $x \in (0; \frac{3}{5})$.

Ответ: функция положительна на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(\frac{3}{5}; +\infty)$; функция отрицательна на промежутке $(0; \frac{3}{5})$.

б) $g(x) = 4 - x^2$

1. Найдем нули функции, решив уравнение $g(x) = 0$:

$4 - x^2 = 0$

Это разность квадратов:

$(2 - x)(2 + x) = 0$

Корни уравнения:

$2 - x = 0 \Rightarrow x_1 = 2$

$2 + x = 0 \Rightarrow x_2 = -2$

2. Нули функции $x=-2$ и $x=2$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

3. Графиком функции является парабола. Запишем функцию в стандартном виде: $g(x) = -x^2 + 4$. Коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля ($-1 < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция принимает положительные значения между корнями и отрицательные — по бокам от корней.

Таким образом:

• $g(x) > 0$ (функция положительна) при $x \in (-2; 2)$.
• $g(x) < 0$ (функция отрицательна) при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: функция положительна на промежутке $(-2; 2)$; функция отрицательна на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$.