Номер 2.48, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.48. На рисунке 20 изображен график функции $y = f(x)$.

Найдите:

а) промежутки знакопостоянства функции;

б) промежутки возрастания функции.

Сколько нулей имеет данная функция?

Рис. 20

а) промежутки знакопостоянства функции;
Промежутки знакопостоянства – это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. является либо только положительной, либо только отрицательной). Для их нахождения сначала определим нули функции – точки, в которых график пересекает ось абсцисс ($Ox$), то есть $f(x)=0$.
Из графика видно, что такая точка одна. Она находится на отрезке, соединяющем точки $(6; 1)$ и $(7; -4)$. Будем считать, что на этом участке график является прямой линией. Найдем уравнение этой прямой:$$ \frac{x-6}{7-6} = \frac{y-1}{-4-1} \implies x-6 = \frac{y-1}{-5} $$Чтобы найти нуль функции, подставим $y=0$:$$ x-6 = \frac{0-1}{-5} \implies x-6 = \frac{1}{5} \implies x = 6 + \frac{1}{5} = 6\frac{1}{5} $$Теперь определим знаки функции на полученных интервалах:

• Функция положительна ($f(x) > 0$), когда ее график расположен выше оси $Ox$. Это происходит на промежутке $[-2; 6\frac{1}{5})$.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда ее график расположен ниже оси $Ox$. Это происходит на промежутке $(6\frac{1}{5}; 7]$.

Ответ: функция положительна на промежутке $[-2; 6\frac{1}{5})$, отрицательна на промежутке $(6\frac{1}{5}; 7]$.

б) промежутки возрастания функции.
Промежутки возрастания – это интервалы, на которых с увеличением аргумента $x$ значение функции $y$ также увеличивается. На графике это соответствует участкам, где кривая идет вверх (слева направо).
По графику определяем точки экстремумов (локальных максимумов и минимумов):

• Точка локального максимума: $x = -1$.
• Точка локального минимума: $x = 1$.
• Точка локального максимума: $x = 4.5 = 4\frac{1}{2}$.

Функция возрастает на следующих промежутках:

• От начала области определения $x=-2$ до первого локального максимума при $x=-1$. Промежуток: $[-2; -1]$.
• От локального минимума при $x=1$ до второго локального максимума при $x=4\frac{1}{2}$. Промежуток: $[1; 4\frac{1}{2}]$.

Ответ: $[-2; -1]$ и $[1; 4\frac{1}{2}]$.

Сколько нулей имеет данная функция?
Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y=f(x)$ равно нулю. Геометрически это точки пересечения графика функции с осью $Ox$.
Как было найдено в пункте а), график функции пересекает ось $Ox$ ровно один раз в точке $x = 6\frac{1}{5}$.
Ответ: 1.