Номер 2.45, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.45. Функция $y = f(x)$ задана графически (рис. 18). Найдите:

1) нули функции;

2) промежутки знакопостоянства функции;

3) промежутки монотонности функции.

а) $y = f(x)$

б) $y = f(x)$

в) $y = f(x)$

Рис. 18

а) 1) нули функции;
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y=f(x)$ равно нулю. Графически это точки пересечения графика с осью абсцисс (осью Ox). Для графика а) это точки: $x_1 = -3$, $x_2 = -1$, $x_3 = 4$. Ответ: $-3; -1; 4$.

2) промежутки знакопостоянства функции;
Это промежутки, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.

• Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график расположен выше оси Ox. Это происходит при $x \in (-3, -1)$ и $x \in (4, 5]$.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график расположен ниже оси Ox. Это происходит при $x \in [-4, -3)$ и $x \in (-1, 4)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-3, -1) \cup (4, 5]$; $f(x) < 0$ при $x \in [-4, -3) \cup (-1, 4)$.

3) промежутки монотонности функции.
Это промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает.

• Функция возрастает, когда с увеличением $x$ значения $y$ также увеличиваются (график идет вверх). Это происходит на промежутках от $x=-4$ до $x=-2$ и от $x=2$ до $x=5$.
• Функция убывает, когда с увеличением $x$ значения $y$ уменьшаются (график идет вниз). Это происходит на промежутке от $x=-2$ до $x=2$.

Ответ: функция возрастает при $x \in [-4, -2] \cup [2, 5]$; функция убывает при $x \in [-2, 2]$.

б) 1) нули функции;
Находим точки пересечения графика с осью Ox. Для графика б) это точки: $x_1 = -4$, $x_2 = -2$, $x_3 = 3$. Ответ: $-4; -2; 3$.

2) промежутки знакопостоянства функции;

• Функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in [-5, -4) \cup (3, 5]$.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $x \in (-4, -2) \cup (-2, 3)$. В точке $x=-2$ функция равна нулю, поэтому эта точка исключается из промежутка.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in [-5, -4) \cup (3, 5]$; $f(x) < 0$ при $x \in (-4, -2) \cup (-2, 3)$.

3) промежутки монотонности функции.

• Функция возрастает на промежутках от $x=-3$ до $x=-2$ и от $x=1$ до $x=5$.
• Функция убывает на промежутках от $x=-5$ до $x=-3$ и от $x=-2$ до $x=1$.

Ответ: функция возрастает при $x \in [-3, -2] \cup [1, 5]$; функция убывает при $x \in [-5, -3] \cup [-2, 1]$.

в) 1) нули функции;
Находим точки пересечения графика с осью Ox. Для графика в) это точки: $x_1 = -7$, $x_2 = -5$, $x_3 = -3$, $x_4 = 3$, $x_5 = 8$. Ответ: $-7; -5; -3; 3; 8$.

2) промежутки знакопостоянства функции;

• Функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in [-10, -7) \cup (-5, -3) \cup (3, 8)$.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $x \in (-7, -5) \cup (-3, 3) \cup (8, 11]$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in [-10, -7) \cup (-5, -3) \cup (3, 8)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-7, -5) \cup (-3, 3) \cup (8, 11]$.

3) промежутки монотонности функции.
Точки экстремумов (максимумов и минимумов): минимум при $x=-6$, максимум при $x=-4$, минимум при $x=-1$, максимум при $x=6$.

• Функция возрастает на промежутках от $x=-6$ до $x=-4$ и от $x=-1$ до $x=6$.
• Функция убывает на промежутках от $x=-10$ до $x=-6$, от $x=-4$ до $x=-1$ и от $x=6$ до $x=11$.

Ответ: функция возрастает при $x \in [-6, -4] \cup [-1, 6]$; функция убывает при $x \in [-10, -6] \cup [-4, -1] \cup [6, 11]$.