Номер 2.47, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.47. Изобразите график функции $y=f(x)$, для которой известно, что:

a) $D(f)=[-5; 6];$

б) $E(f)=[-4; 2];$

в) нулями функции являются числа $-3$ и $4;$

г) функция убывает на промежутке $[-5; -1]$ и возрастает на промежутке $[-1; 6].$

Для построения графика функции $y = f(x)$, который удовлетворяет всем перечисленным условиям, необходимо проанализировать их в совокупности.

1. Из условия г) следует, что функция убывает на отрезке $[-5, -1]$ и возрастает на отрезке $[-1, 6]$. Это означает, что в точке $x = -1$ функция достигает своего локального минимума.
2. Из условия б) известно, что область значений функции $E(f) = [-4; 2]$. Это значит, что наименьшее значение функции на всей области определения равно -4, а наибольшее равно 2.
3. Совместив первые два пункта, мы можем заключить, что глобальный минимум функции, равный -4, достигается именно в точке $x = -1$. Таким образом, мы получаем первую ключевую точку графика — точку минимума $(-1, -4)$.
4. Условие в) указывает на нули функции: $x = -3$ и $x = 4$. В этих точках график пересекает ось абсцисс $Ox$. Это дает нам еще две точки: $(-3, 0)$ и $(4, 0)$. Эти точки согласуются с данными о монотонности: точка $(-3,0)$ лежит на интервале убывания, а точка $(4,0)$ — на интервале возрастания.
5. Условие а) задает область определения $D(f) = [-5; 6]$. График должен существовать только в этих пределах. Нам нужно определить значения функции на концах этого отрезка: $f(-5)$ и $f(6)$.
6. Наибольшее значение функции, равное 2, должно достигаться в одной из крайних точек области определения ($x=-5$ или $x=6$), так как единственная точка экстремума — это минимум. Существует несколько вариантов графика, удовлетворяющих этому. Выберем вариант, где $f(-5) = 2$ и $f(6) = 2$.

Итак, мы имеем следующие ключевые точки, через которые можно провести график (например, соединив их отрезками прямых):

• Начальная точка: $(-5, 2)$
• Первый ноль: $(-3, 0)$
• Точка минимума: $(-1, -4)$
• Второй ноль: $(4, 0)$
• Конечная точка: $(6, 2)$

Ниже представлен эскиз графика функции, построенный по этим точкам.

Построенный график полностью соответствует всем заданным условиям:

а) $D(f)=[-5; 6]$: Область определения построенной функции — отрезок $[-5; 6]$, так как график начинается в точке с абсциссой -5 и заканчивается в точке с абсциссой 6. Ответ: Условие выполнено.

б) $E(f)=[-4; 2]$: Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает $y$. На графике наименьшее значение $y=-4$ (в точке $x=-1$), а наибольшее значение $y=2$. Все значения функции находятся в пределах отрезка $[-4; 2]$. Ответ: Условие выполнено.

в) нулями функции являются числа -3 и 4: Нули функции — это абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$. График пересекает ось $Ox$ в точках, где $x=-3$ и $x=4$. Ответ: Условие выполнено.

г) функция убывает на промежутке [-5; -1] и возрастает на промежутке [-1; 6]: На графике видно, что на отрезке $[-5, -1]$ функция убывает (значения $y$ уменьшаются с 2 до -4), а на отрезке $[-1, 6]$ функция возрастает (значения $y$ увеличиваются с -4 до 2). Ответ: Условие выполнено.