Номер 2.50, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.50. Для функции $y=f(x)$, график которой изображен на рисунке 22, найдите:

а) промежутки, на которых функция принимает положительные значения;

б) промежутки убывания функции;

в) количество корней уравнения $f(x)=0$.

Верно ли, что на промежутке [1; 4] функция возрастает; на промежутке [-2; 1] функция принимает отрицательные значения?

Рис. 22

а) промежутки, на которых функция принимает положительные значения;

Функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$), когда ее график расположен выше оси абсцисс (оси Ox). Для нахождения этих промежутков необходимо сначала определить нули функции (точки, в которых $f(x)=0$).
Из графика видно, что функция пересекает или касается оси Ox в трех точках. Две из них имеют координаты $x=1$ и $x=4$. Третья точка находится на отрезке $[-3; -2]$. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки с координатами $(-3; -1)$ и $(-2; 2)$.
Угловой коэффициент прямой: $k = \frac{2 - (-1)}{-2 - (-3)} = \frac{3}{1} = 3$.
Уравнение прямой: $y - 2 = 3(x - (-2))$, что равносильно $y = 3x + 8$.
Найдем корень, решив уравнение $3x + 8 = 0$, откуда $x = -\frac{8}{3}$.
Итак, нули функции: $x_1 = -\frac{8}{3}$, $x_2=1$ и $x_3=4$.
Функция положительна на тех интервалах, где ее график находится выше оси Ox. Это интервалы $(-\frac{8}{3}; 1)$ и $(1; 4)$. В точке $x=1$ функция равна нулю, поэтому она не входит в эти промежутки.
Ответ: $ ( \bf{-2} \frac{2}{3}; 1) \cup (1; 4) $.

б) промежутки убывания функции;

Промежутки убывания функции — это те промежутки, на которых при увеличении аргумента $x$ значение функции $y=f(x)$ уменьшается. На графике это соответствует участкам, где линия идет вниз при движении слева направо.
Из графика видно, что функция убывает на двух участках:
1. От локального максимума в точке $x=-2$ до локального минимума в точке $x=1$.
2. От локального максимума в точке $x=3$ до конца области определения в точке $x=5$.
Таким образом, промежутками убывания являются отрезки $[-2; 1]$ и $[3; 5]$.
Ответ: $[-2; 1]$ и $[3; 5]$.

в) количество корней уравнения $f(x)=0$.

Корни уравнения $f(x)=0$ — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Геометрически это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ox. Как было установлено в пункте (а), таких точек три.
Ответ: 3.

Верно ли, что на промежутке [1; 4] функция возрастает; на промежутке [-2; 1] функция принимает отрицательные значения?

Рассмотрим оба утверждения по отдельности:
1. Утверждение "на промежутке $[1; 4]$ функция возрастает" — неверно. На этом промежутке функция сначала возрастает (на отрезке $[1; 3]$), а затем убывает (на отрезке $[3; 4]$). Поскольку поведение функции на интервале неоднородно, нельзя сказать, что она возрастает на всем интервале.
2. Утверждение "на промежутке $[-2; 1]$ функция принимает отрицательные значения" — неверно. На данном отрезке значения функции $f(x)$ изменяются от $f(-2)=2$ до $f(1)=0$. Таким образом, все значения функции на этом промежутке неотрицательны, то есть $f(x) \ge 0$.
Поскольку оба составляющих утверждения ложны, то и всё высказывание целиком является неверным.
Ответ: неверно.