Номер 2.56, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.56. Изобразите график функции $y = f(x)$, если известно, что уравнение $f(x) = 0$:

а) имеет один корень;

б) имеет один положительный и два отрицательных корня;

в) не имеет корней.

Условие о количестве и знаке корней уравнения $f(x)=0$ напрямую связано с поведением графика функции $y=f(x)$ относительно оси абсцисс (оси Ox). Корни уравнения $f(x)=0$ — это в точности абсциссы ($x$-координаты) точек, в которых график функции $y=f(x)$ пересекает или касается оси Ox.

Если уравнение $f(x)=0$ имеет один корень, это означает, что график функции $y=f(x)$ пересекает или касается оси Ox ровно в одной точке. Существует бесконечно много функций, удовлетворяющих этому условию.

В качестве примера можно рассмотреть:

• Линейную функцию: $y = kx + b$ при $k \neq 0$. Например, $y = 2x - 4$. График — прямая, пересекающая ось Ox в точке $x=2$.
• Квадратичную функцию: $y = a(x-x_0)^2$, график которой (парабола) касается оси Ox в своей вершине. Например, $y = (x-3)^2$. График — парабола, касающаяся оси Ox в точке $x=3$.
• Кубическую функцию: $y = x^3$. График пересекает ось Ox только в точке $x=0$.

Ответ: Графиком такой функции может быть парабола, вершина которой находится на оси Ox. Например, для функции $y=x^2$ график касается оси Ox в единственной точке $(0,0)$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в начале координат.

Это условие означает, что график функции $y=f(x)$ пересекает ось Ox ровно в трех точках. При этом одна точка пересечения должна иметь положительную абсциссу ($x>0$), а две другие — отрицательные абсциссы ($x<0$).

Чтобы найти пример такой функции, можно взять три корня, удовлетворяющих условию, например: $x_1 = 2$ (положительный), $x_2 = -1$ и $x_3 = -3$ (отрицательные). Функция может быть задана как произведение линейных множителей, соответствующих этим корням: $f(x) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$.

Подставив наши значения, получим: $f(x) = (x-2)(x-(-1))(x-(-3)) = (x-2)(x+1)(x+3)$. Раскрыв скобки, получим кубический многочлен: $f(x) = (x-2)(x^2+4x+3) = x^3+4x^2+3x-2x^2-8x-6 = x^3+2x^2-5x-6$.

Ответ: Графиком такой функции может служить кубическая парабола (график кубической функции), пересекающая ось абсцисс в трех точках. Например, график функции $f(x) = x^3+2x^2-5x-6$ пересекает ось Ox в точках $x=2$, $x=-1$ и $x=-3$. График имеет характерную S-образную форму: приходя из $-\infty$ слева, он пересекает ось в точках -3 и -1, достигает локального максимума между ними, затем локального минимума между -1 и 2, и после пересечения оси в точке 2 уходит в $+\infty$.

Если уравнение $f(x)=0$ не имеет корней, это означает, что график функции $y=f(x)$ никогда не пересекает и не касается оси Ox. Следовательно, весь график целиком расположен либо в верхней полуплоскости (то есть $f(x) > 0$ для всех $x$), либо в нижней полуплоскости (то есть $f(x) < 0$ для всех $x$).

Примеры таких функций:

• Квадратичная функция: парабола, не имеющая общих точек с осью Ox. Например, $y = x^2 + 1$. Вершина этой параболы находится в точке $(0, 1)$, ветви направлены вверх, поэтому график целиком лежит выше оси Ox. Другой пример: $y = -x^2 - 2$. Вершина в $(0, -2)$, ветви вниз, график целиком ниже оси Ox.
• Показательная функция: $y = a^x$ для $a > 0, a \neq 1$. Например, $y = e^x$. Значения этой функции всегда положительны.
• Постоянная функция: $y = c$, где $c \neq 0$. Например, $y = 5$. График — горизонтальная прямая, расположенная выше оси Ox.

Ответ: Графиком такой функции может быть парабола, которая не пересекает ось Ox. Например, для функции $y=x^2+1$ график целиком расположен в верхней полуплоскости, так как ее минимальное значение равно $1$ (достигается в точке $x=0$).