Номер 2.58, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.58. Составьте план решения и найдите промежутки знакопостоянства функции:

а) $f(x)=8-3x;$

б) $g(x)=x^2-9;$

в) $h(x)=5x-x^2;$

г)* $p(x)=|x|+7.$

План решения:

1. Найти область определения функции $D(y)$.
2. Найти нули функции, то есть решить уравнение $y(x) = 0$. Нули функции – это точки, в которых она может менять свой знак.
3. Отметить нули функции на числовой оси. Эти точки разделят ось на несколько промежутков знакопостоянства.
4. Определить знак функции на каждом из полученных промежутков. Для этого достаточно вычислить значение функции в любой одной точке из каждого промежутка.
5. Записать итоговые промежутки, на которых функция положительна ($y > 0$) и на которых отрицательна ($y < 0$).

а) $f(x) = 8 - 3x$

1. Область определения функции: все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем нули функции, решив уравнение $f(x) = 0$:
$8 - 3x = 0$
$3x = 8$
$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$
3. Точка $x = 2\frac{2}{3}$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 2\frac{2}{3})$ и $(2\frac{2}{3}; +\infty)$.
4. Определим знак функции на каждом промежутке:

• Возьмем точку из первого промежутка, например $x=0$. $f(0) = 8 - 3 \cdot 0 = 8 > 0$. Значит, на всем промежутке $(-\infty; 2\frac{2}{3})$ функция положительна.
• Возьмем точку из второго промежутка, например $x=3$. $f(3) = 8 - 3 \cdot 3 = 8 - 9 = -1 < 0$. Значит, на всем промежутке $(2\frac{2}{3}; +\infty)$ функция отрицательна.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; \mathbf{2}\frac{2}{3})$; $f(x) < 0$ при $x \in (\mathbf{2}\frac{2}{3}; +\infty)$.

б) $g(x) = x^2 - 9$

1. Область определения: $D(g) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем нули функции: $g(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 9 = 0$.
Это разность квадратов: $(x - 3)(x + 3) = 0$.
Нули функции: $x_1 = -3$, $x_2 = 3$.
3. Нули делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен.
4. Следовательно, функция положительна по бокам от корней и отрицательна между корнями.

• Промежутки, где $g(x) > 0$: $(-\infty; -3)$ и $(3; +\infty)$.
• Промежуток, где $g(x) < 0$: $(-3; 3)$.

Ответ: $g(x) > 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$; $g(x) < 0$ при $x \in (-3; 3)$.

в) $h(x) = 5x - x^2$

1. Область определения: $D(h) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем нули функции: $h(x) = 0 \Rightarrow 5x - x^2 = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(5 - x) = 0$.
Нули функции: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$.
3. Нули делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 5)$ и $(5; +\infty)$. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен.
4. Следовательно, функция отрицательна по бокам от корней и положительна между корнями.

• Промежуток, где $h(x) > 0$: $(0; 5)$.
• Промежутки, где $h(x) < 0$: $(-\infty; 0)$ и $(5; +\infty)$.

Ответ: $h(x) > 0$ при $x \in (0; 5)$; $h(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (5; +\infty)$.

г)* $p(x) = |x| + 7$

1. Область определения: $D(p) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем нули функции: $p(x) = 0 \Rightarrow |x| + 7 = 0$.
$|x| = -7$.
Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как модуль любого числа по определению неотрицателен ($|x| \geq 0$). Значит, у функции нет нулей.
3. Так как функция непрерывна и не обращается в ноль, она сохраняет свой знак на всей числовой оси.
4. Чтобы определить этот знак, выберем любую точку, например $x=0$.
$p(0) = |0| + 7 = 7 > 0$.
Кроме того, для любого $x$ верно неравенство $|x| \geq 0$, следовательно $|x| + 7 \geq 7$. Таким образом, функция всегда положительна.

Ответ: $p(x) > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$; промежутков, где $p(x) < 0$, не существует.