Номер 2.60, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.60. Из функций $y = -x^2 - 5$; $y = -\sqrt{2}$; $y = -6x$; $y = -\sqrt{x}$ выберите те, которые принимают только отрицательные значения для всех значений аргумента из области определения функции. Приведите несколько примеров функций, принимающих только положительные значения для всех значений аргумента из области определения функции.

Для решения задачи проанализируем каждую из предложенных функций, чтобы определить, какие из них принимают только отрицательные значения на всей своей области определения. Затем приведем примеры функций, которые всегда принимают только положительные значения.

Проанализируем каждую функцию:

1. Функция $y = -x^2 - 5$

   Область определения этой функции — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$).
   Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$.
   Следовательно, выражение $-x^2$ всегда неположительно: $-x^2 \le 0$.
   Если к неположительному числу прибавить $-5$, результат всегда будет строго отрицательным: $y = -x^2 - 5 \le 0 - 5$, то есть $y \le -5$.
   Вывод: Эта функция принимает только отрицательные значения.

2. Функция $y = -\sqrt{2}$

   Это постоянная функция. Ее область определения — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$).
   Значение функции всегда равно $-\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $y = -\sqrt{2}$ является отрицательной константой.
   Вывод: Эта функция принимает только отрицательные значения.

3. Функция $y = -6x$

   Это линейная функция. Ее область определения — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$).
   Знак значения функции зависит от знака аргумента $x$:

   • Если $x$ — положительное число (например, $x=1$), то $y = -6(1) = -6$ (отрицательное значение).
   • Если $x$ — отрицательное число (например, $x=-1$), то $y = -6(-1) = 6$ (положительное значение).
   • Если $x=0$, то $y=0$.

   Вывод: Эта функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, а также ноль. Она не подходит под условие.

4. Функция $y = -\sqrt{x}$

   Область определения этой функции — все неотрицательные числа, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным: $D(y) = [0; +\infty)$.
   Арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ по определению всегда неотрицателен: $\sqrt{x} \ge 0$.
   Соответственно, функция $y = -\sqrt{x}$ принимает неположительные значения: $y \le 0$.
   При $x=0$, значение функции $y=0$. Ноль не является отрицательным числом.
   Вывод: Так как функция может принимать значение 0, она не удовлетворяет условию "принимать только отрицательные значения".

Ответ: Функции, которые принимают только отрицательные значения на всей своей области определения: $y = -x^2 - 5$ и $y = -\sqrt{2}$.

Вот несколько примеров таких функций с обоснованием:

1. Функция $y = x^2 + 3$

   Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2 + 3 \ge 3$. Таким образом, все значения этой функции строго положительны.

2. Функция $y = |x| + 1$

   Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Поскольку модуль числа $|x| \ge 0$ для любого $x$, то $|x| + 1 \ge 1$. Все значения этой функции также строго положительны.

3. Функция $y = 2^x$

   Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Это показательная функция с основанием $a=2 > 1$. Область значений такой функции — все положительные числа, $E(y) = (0; +\infty)$. Таким образом, она принимает только положительные значения.

Ответ: Примеры функций, принимающих только положительные значения: $y = x^2 + 3$, $y = |x| + 1$, $y = 2^x$.