Номер 2.55, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.55. График функции, областью определения которой являются все действительные числа, проходит через точки $A(-5; 7)$ и $B(8; -4)$. Верно ли, что на промежутке $(-5; 8)$ функция имеет хотя бы один нуль?

Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать условия, при которых функция гарантированно имеет нуль (то есть пересекает ось абсцисс) на заданном промежутке.

Из условия задачи нам известно, что график функции $y = f(x)$ проходит через точки $A(-5; 7)$ и $B(8; -4)$. Это означает, что $f(-5) = 7$ и $f(8) = -4$. Мы видим, что на концах отрезка $[-5; 8]$ функция принимает значения разных знаков: $f(-5) > 0$ и $f(8) < 0$.

Здесь можно было бы применить теорему Больцано — Коши о промежуточном значении. Она гласит, что если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$ и значения на его концах $f(a)$ и $f(b)$ имеют разные знаки, то на интервале $(a; b)$ существует хотя бы одна точка $c$, в которой значение функции равно нулю ($f(c) = 0$).

Ключевым моментом в этой теореме является условие непрерывности функции. В условии задачи сказано, что область определения функции — все действительные числа, но ничего не говорится о её непрерывности. Если функция не является непрерывной, она может иметь разрыв и "перескочить" через ось Ox, не пересекая её.

Можно привести пример такой функции, которая удовлетворяет условиям задачи, но не имеет нулей. Например, кусочно-заданная функция:

$f(x) = \begin{cases} 7, & \text{если } x < 0 \\ -4, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Проверим эту функцию на соответствие условиям задачи:

• Область определения — все действительные числа. Это условие выполнено.
• График проходит через точку $A(-5; 7)$: поскольку $-5 < 0$, то $f(-5) = 7$. Условие выполнено.
• График проходит через точку $B(8; -4)$: поскольку $8 \ge 0$, то $f(8) = -4$. Условие выполнено.

При этом данная функция принимает только два значения, 7 и -4, и никогда не равна нулю. Следовательно, у неё нет нулей на промежутке $(-5; 8)$.

Таким образом, поскольку в условии не указана непрерывность функции, нельзя утверждать, что она обязательно имеет нуль на промежутке $(-5; 8)$.

Ответ: Нет, не верно.