Номер 2.59, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.59. Найдите, при каких значениях аргумента функция

принимает положительные значения:

а) $f(x) = 8x;$

б) $f(x) = x^2 + 6x + 9;$

в) $f(x) = \frac{6}{x};$

г) $f(x) = \sqrt{x}.$

Для нахождения значений аргумента, при которых функция принимает положительные значения, необходимо для каждой функции решить неравенство $f(x) > 0$.

а) $f(x) = 8x$
Решаем неравенство:
$8x > 0$
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 8 (так как 8 > 0, знак неравенства не меняется):
$x > \frac{0}{8}$
$x > 0$
Таким образом, функция принимает положительные значения при всех $x$ больше нуля.
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

б) $f(x) = x^2 + 6x + 9$
Решаем неравенство:
$x^2 + 6x + 9 > 0$
Левая часть неравенства представляет собой формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$
Получаем неравенство:
$(x+3)^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x+3)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается при $x+3=0$, то есть при $x=-3$. Во всех остальных случаях квадрат будет строго положительным.
Следовательно, неравенство справедливо для всех действительных чисел $x$, кроме $x=-3$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

в) $f(x) = \frac{6}{x}$
Решаем неравенство:
$\frac{6}{x} > 0$
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Числитель 6 - положительное число. Следовательно, знаменатель также должен быть положительным.
$x > 0$
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

г) $f(x) = \sqrt{x}$
Решаем неравенство:
$\sqrt{x} > 0$
Область определения функции $f(x) = \sqrt{x}$ задается условием $x \ge 0$.
Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа всегда является неотрицательным числом. Значение $\sqrt{x}$ равно нулю только при $x=0$.
Следовательно, чтобы значение функции было строго положительным, подкоренное выражение должно быть строго положительным.
$x > 0$
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.